Use o Teorema de Stokes para Calcular
integralC F cdot d r
onde F(x, y, z)=(3 z-e^x) i+(x+cos y+z) j+(y-2 x) k, S um plano no primeiro octante dado por x+2 y+4 z=8 e C a fronteira triangular de S orientado no sentido anti-horário quando observado de cima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha integralC F cdot dr, onde o campo vetorial é F(x, y, z) = (3z - e^x),i + (x + cos y + z),j + (y - 2x),k. A superfície S é um plano no primeiro octante dado por x + 2y + 4z = 8 e C é a fronteira triangular dessa superfície, orientada no sentido anti-horário visto de cima. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Stokes a esse campo vetorial e superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Stokes. Ele relaciona a integral de linha de um campo vetorial F ao longo de uma curva fechada C com a integral de superfície do rotor (ou curl) de F sobre uma superfície S limitada por C. A fórmula é:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n, dS
Aqui, n é o vetor normal à superfície S.

Passo 3

Vamos calcular o rotor de F, que é nabla times F. Dado que:
F(x, y, z) = (3z - e^x),i + (x + cos y + z),j + (y - 2x),k
O rotor é calculado da seguinte forma:
nabla times F = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z 3z - e^x & x + cos y + z & y - 2x
Resolvendo a determinante:
nabla times F = ( partialpartial y(y - 2x) - partialpartial z(x + cos y + z) ) i - ( partialpartial x(y - 2x) - partialpartial z(3z - e^x) ) j + ( partialpartial x(x + cos y + z) - partialpartial y(3z - e^x) ) k
Simplificando:
nabla times F = (1 - 1),i - (-2 - 3),j + (1 - 0),k = 0,i + 5,j + 1,k
Então,
nabla times F = 5,j + k

Passo 4

Agora, precisamos determinar o vetor normal n à superfície S. A equação do plano é x + 2y + 4z = 8. Os coeficientes de x, y e z dão o vetor normal:
n = lang<= 1, 2, 4 rang<=
Para calcular a integral de superfície, não precisamos normalizar n, pois a diferença diferencial dS já leva em conta a magnitude.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar (nabla times F) cdot n:
(nabla times F) cdot n = lang<= 5, 1 rang<= cdot lang<= 1, 2, 4 rang<= = 5 times 1 + 1 times 2 + 0 times 4 = 5 + 2 = 7
Mas na verdade, devemos considerar todo o vetor:
n = lang<= 1, 2, 4 rang<=
nabla times F = lang<= 0, 5, 1 rang<=
(nabla times F) cdot n = 0 times 1 + 5 times 2 + 1 times 4 = 0 + 10 + 4 = 14

Passo 6

Precisamos agora calcular a área da superfície S, que é um triângulo no primeiro octante definido pelo plano x + 2y + 4z = 8. Vamos encontrar os vértices desse triângulo:
  • Quando y = z = 0: x = 8 → ponto A(8, 0, 0)
  • Quando x = z = 0: 2y = 8 y = 4 → ponto B(0, 4, 0)
  • Quando x = y = 0: 4z = 8 z = 2 → ponto C(0, 0, 2)
A área de um triângulo com vértices A, B e C é dada por:
Área = 12 | AB times AC | Á
Calculando os vetores:
AB = B - A = (-8, 4, 0)
AC = C - A = (-8, 0, 2)
Calculando o produto vetorial:
AB times AC = i & j & k -8 & 4 & 0 -8 & 0 & 2 = i(4 times 2 - 0 times 0) - j(-8 times 2 - (-8) times 0) + k(-8 times 0 - (-8) times 4)
= 8,i + 16,j + 32,k
O módulo desse vetor é:
| AB times AC | = raiz8^2 + 16^2 + 32^2 = raiz64 + 256 + 1024 = raiz1344 = 8raiz21
Portanto, a área é:
Área = 12 times 8raiz21 = 4raiz21 Á

Passo 7

Agora, aplicamos o Teorema de Stokes:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n, dS = 14 times Área Á
= 14 times 4raiz21 = 56raiz21

Resposta

A integral integralC F cdot dr vale 56raiz21.

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