Considere o campo vetorial
(f)
i. Verifique se
é conservativo.
ii. Caso seja conservativo, calcule
onde
é qualquer curva ligando
a
.
(f)
ii. Caso seja conservativo, calcule
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pede duas coisas:
i) Verificar se
é conservativo.
ii) Caso seja conservativo, calcular
onde
é qualquer curva que liga
a
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão explícita de
(três componentes dependendo de ). - A curva
não é especificada; diz-se apenas que liga os dois pontos. Isso sugere que, se for conservativo, o integral depende apenas dos extremos.
Passo 2
O que significa ser conservativo e como checar isso (explicação didática).
Um campo vetorial
é chamado conservativo se existe uma função escalar
tal que
isto é,
Uma consequência útil em
é o critério do rotacional: se
em todo um domínio simplesmente conectado (por exemplo todo
), então
é conservativo. Aqui estamos em todo
, que é simplesmente conectado, então basta checar se o rotacional é nulo.
O rotacional é o vetor
Passo 3
Calcular o rotacional de
passo a passo.
As componentes de
são
,
,
.
Calcule cada componente do rotacional:
Primeira componente:
logo
Segunda componente:
logo
Terceira componente:
logo
Portanto
Passo 4
Conclusão sobre conservatividade com justificativa.
Como
em todo
e
é simplesmente conectado, pelo teorema clássico
é conservativo: existe potencial
tal que
.
Agora, para calcular integrais de linha podemos usar o Teorema Fundamental para Gradientes: se
, então para qualquer curva
que una
a
,
Aqui
e
. Então precisamos achar um potencial
.
Passo 5
Determinar o potencial
explicitamente (passo a passo, sem pular etapas).
Partimos das equações
- Integre
em relação a , tratando como constantes:
onde
é uma função arbitrária que pode depender só de
e
(pois a derivada parcial em
anulou essa função).
- Use a segunda condição
. Calcule a derivada parcial de obtida:
Igualando à componente
,
Portanto
não depende de
; logo
para alguma função
.
- Agora use a terceira condição
. A partir de temos
Igualando à componente
,
Integramos
em relação a
:
onde
é constante real arbitrária (não influencia diferenças de potencial).
- Assim um potencial conveniente é
Podemos escolher
para simplificar.
Passo 6
Calcular a integral de linha usando o potencial (aplicando o Teorema Fundamental).
Pelo teorema, para qualquer curva
de
a
,
Calcule os valores:
Portanto
Resposta
i) Sim,
é conservativo.
ii)
ii)