Considere o campo vetorial
(f)
\mathbf{F}(x, y, z)=(y z, x z, x y+2 z) .
i. Verifique se \mathbf{F} é conservativo.
ii. Caso seja conservativo, calcule
\int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}
onde C é qualquer curva ligando (0,0,0) a (1,2,1).

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=(y z,\; x z,\; x y+2 z)
e pede duas coisas:
i) Verificar se \mathbf{F} é conservativo.
ii) Caso seja conservativo, calcular
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r},
onde C é qualquer curva que liga (0,0,0) a (1,2,1).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão explícita de \mathbf{F} (três componentes dependendo de x,y,z).
  • A curva C não é especificada; diz-se apenas que liga os dois pontos. Isso sugere que, se \mathbf{F} for conservativo, o integral depende apenas dos extremos.

Passo 2

O que significa ser conservativo e como checar isso (explicação didática).
Um campo vetorial \mathbf{F} é chamado conservativo se existe uma função escalar \varphi(x,y,z) tal que
\nabla \varphi=\mathbf{F},
isto é,
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=F_1,\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=F_2,\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial z}=F_3.
Uma consequência útil em \mathbb{R}^3 é o critério do rotacional: se \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} em todo um domínio simplesmente conectado (por exemplo todo \mathbb{R}^3), então \mathbf{F} é conservativo. Aqui estamos em todo \mathbb{R}^3, que é simplesmente conectado, então basta checar se o rotacional é nulo.
O rotacional é o vetor
\nabla\times\mathbf{F} = \left( \frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\; \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\; \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y} \right).

Passo 3

Calcular o rotacional de \mathbf{F} passo a passo.
As componentes de \mathbf{F} são F_1(y,z)=y z, F_2(x,z)=x z, F_3(x,y,z)=x y+2 z.
Calcule cada componente do rotacional:
Primeira componente:
\frac{\partial F_3}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x y+2 z)=x, \qquad \frac{\partial F_2}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(x z)=x,
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\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}=x-x=0.
Segunda componente:
\frac{\partial F_1}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(y z)=y, \qquad \frac{\partial F_3}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x y+2 z)=y,
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\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}=y-y=0.
Terceira componente:
\frac{\partial F_2}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x z)=z, \qquad \frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(y z)=z,
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\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}=z-z=0.
Portanto
\nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}\quad\text{em todo }\mathbb{R}^3.

Passo 4

Conclusão sobre conservatividade com justificativa.
Como \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} em todo \mathbb{R}^3 e \mathbb{R}^3 é simplesmente conectado, pelo teorema clássico \mathbf{F} é conservativo: existe potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}.
Agora, para calcular integrais de linha podemos usar o Teorema Fundamental para Gradientes: se \mathbf{F}=\nabla\varphi, então para qualquer curva C que una A a B,
\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi(B)-\varphi(A).
Aqui A=(0,0,0) e B=(1,2,1). Então precisamos achar um potencial \varphi.

Passo 5

Determinar o potencial \varphi explicitamente (passo a passo, sem pular etapas).
Partimos das equações
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=y z, \qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=x z, \qquad \frac{\partial \varphi}{\partial z}=x y+2 z.
  1. Integre \dfrac{\partial \varphi}{\partial x}=y z em relação a x, tratando y,z como constantes:
\varphi(x,y,z)=\int y z\, dx = x y z + g(y,z),
onde g(y,z) é uma função arbitrária que pode depender só de y e z (pois a derivada parcial em x anulou essa função).
  1. Use a segunda condição \dfrac{\partial \varphi}{\partial y}=x z. Calcule a derivada parcial de \varphi obtida:
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x y z + g(y,z))=x z + \frac{\partial g}{\partial y}.
Igualando à componente F_2,
x z + \frac{\partial g}{\partial y}=x z \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial y}=0.
Portanto g não depende de y; logo g(y,z)=h(z) para alguma função h.
  1. Agora use a terceira condição \dfrac{\partial \varphi}{\partial z}=x y+2 z. A partir de \varphi(x,y,z)=x y z + h(z) temos
\frac{\partial \varphi}{\partial z}=x y + h'(z).
Igualando à componente F_3,
x y + h'(z)=x y + 2 z \quad\Rightarrow\quad h'(z)=2 z.
Integramos h' em relação a z:
h(z)=\int 2 z\, dz = z^2 + C,
onde C é constante real arbitrária (não influencia diferenças de potencial).
  1. Assim um potencial conveniente é
\varphi(x,y,z)=x y z + z^2 + C.
Podemos escolher C=0 para simplificar.

Passo 6

Calcular a integral de linha usando o potencial (aplicando o Teorema Fundamental).
Pelo teorema, para qualquer curva C de (0,0,0) a (1,2,1),
\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi(1,2,1)-\varphi(0,0,0).
Calcule os valores:
\varphi(1,2,1)=1\cdot 2\cdot 1 + 1^2 = 2 + 1 = 3, \qquad \varphi(0,0,0)=0\cdot0\cdot0 + 0^2 = 0.
Portanto
\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=3-0=3.

Resposta

i) Sim, \mathbf{F} é conservativo.
ii) \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=3.

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