Considere o campo vetorial
definido por
. Calcule o fluxo do campo vetorial
através da esfera de raio unitário, centrada na origem, cuja normal no ponto
tem a segunda componente positiva.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
através da esfera unitária centrada na origem, usando a normal cujo componente
é positiva (ou seja, a normal exterior). O conteúdo aqui é integral de superfície (fluxo) e podemos usar o Teorema da Divergência ou cálculo direto.
Passo 2
O fluxo de
através de uma superfície
orientada por
é dado por
Para a esfera unitária e a orientação exterior, a normal unitária em cada ponto
Passo 3
Podemos usar o Teorema da Divergência, que diz
onde
Passo 4
Agora avaliaremos o volume da esfera unitária. O volume é
Logo, a integral tripla fica
Passo 5
Portanto, o fluxo do campo
pela esfera unitária com a normal exterior é
.
Resposta
4\pi