Considere o campo vetorial F: R^3 R^3 definido por F(x, y, z)=(x, y, z). Calcule o fluxo do campo vetorial F através da esfera de raio unitário, centrada na origem, cuja normal no ponto (0,1,0) tem a segunda componente positiva.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial F(x,y,z)=(x,y,z) através da esfera unitária centrada na origem, usando a normal cujo componente y é positiva (ou seja, a normal exterior). O conteúdo aqui é integral de superfície (fluxo) e podemos usar o Teorema da Divergência ou cálculo direto.

Passo 2

O fluxo de F através de uma superfície S orientada por n é dado por
Phi=integral duplaS Fcdot n,dS
Para a esfera unitária e a orientação exterior, a normal unitária em cada ponto (x,y,z) é n=(x,y,z) porque o raio é 1.

Passo 3

Podemos usar o Teorema da Divergência, que diz
Phi=integral triplaV(nablacdot F),dV,
onde V é o interior da esfera. Primeiro, calculamos a divergência:
nablacdot F=partial xpartial x+partial ypartial y+partial zpartial z=1+1+1=3

Passo 4

Agora avaliaremos o volume da esfera unitária. O volume é
Vol(V)=43picdot1^3=43pi
Logo, a integral tripla fica
Phi=integral triplaV3,dV=3timesVol(V)=3times43pi=4pi

Passo 5

Portanto, o fluxo do campo F pela esfera unitária com a normal exterior é 4pi.

Resposta

4\pi

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