Seja y=sumn=0^infty an x^n.
Calcule y^prime prime e escreva os quatro primeiros termos da série.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de série de potências y = sumn=0^infty an x^n. O objetivo é calcular a segunda derivada y'' e listar os quatro primeiros termos da série. Vamos usar a regra de derivação termo a termo.

Passo 2

Aplicamos a derivada termo a termo em y. Como ddxx^n = n x^n-1, obtemos
y' = sumn=1^infty n,an,x^n-1

Passo 3

Derivando novamente y' termo a termo e usando ddxx^n-1 = (n-1)x^n-2, chegamos a
y'' = sumn=2^infty n(n-1),an,x^n-2

Passo 4

Para escrever a série começando em x^0, fazemos a troca de índice k = n - 2. Isso dá
y'' = sumk=0^infty (k+2)(k+1),ak+2,x^k

Passo 5

Agora extraímos os quatro primeiros termos da série (para k=0,1,2,3):
  • k=0: (0+2)(0+1)a2 x^0 = 2a2.
  • k=1: (1+2)(1+1)a3 x^1 = 6a3 x.
  • k=2: (2+2)(2+1)a4 x^2 = 12a4 x^2.
  • k=3: (3+2)(3+1)a5 x^3 = 20a5 x^3.

Resposta

A segunda derivada é y'' = sumk=0^infty (k+2)(k+1)ak+2x^k e os quatro primeiros termos são 2a2, 6a3 x, 12a4 x^2 e 20a5 x^3.

Exercícios relacionados