Considere o campo vetorial F(x, y, z)=x^2 z i+y^2 z j+(x^2-y^2) k. Determine
o rotacional (nabla times F);
o divergente (nabla cdot F).
Verifique se o campo vetorial F é conservativo e justifique sua resposta.( 1,0 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente trabalhar com um campo vetorial F(x, y, z) = x^2 z i + y^2 z j + (x^2 - y^2) k. Nosso objetivo é:
  1. Encontrar o rotacional ( nabla times F);
  2. Encontrar o divergente ( nabla cdot F);
  3. Verificar se o campo vetorial F é conservativo.
Para isso, vamos precisar lembrar das definições e fórmulas do cálculo vetorial para rotacional e divergente, além de entender o que significa um campo ser conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de F, que é dado por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
Vamos identificar as componentes de F:
Fx = x^2 z, Fy = y^2 z, Fz = x^2 - y^2
Agora, vamos calcular cada termo do rotacional:
  1. partial Fzpartial y = partialpartial y (x^2 - y^2) = -2y
  2. partial Fypartial z = partialpartial z (y^2 z) = y^2
  3. partial Fxpartial z = partialpartial z (x^2 z) = x^2
  4. partial Fzpartial x = partialpartial x (x^2 - y^2) = 2x
  5. partial Fypartial x = partialpartial x (y^2 z) = 0 (já que não há x)
  6. partial Fxpartial y = partialpartial y (x^2 z) = 0 (já que não há y)
Substituindo na fórmula do rotacional:
nabla times F = (-2y - y^2) i + (x^2 - 2x) j + (0 - 0) k = (-2y - y^2) i + (x^2 - 2x) j

Passo 3

Agora, vamos calcular o divergente de F, que é dado por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. partial Fxpartial x = partialpartial x (x^2 z) = 2x z
  2. partial Fypartial y = partialpartial y (y^2 z) = 2y z
  3. partial Fzpartial z = partialpartial z (x^2 - y^2) = 0 (não tem z)
Somando tudo:
nabla cdot F = 2x z + 2y z + 0 = 2z (x + y)

Passo 4

Por último, vamos verificar se o campo vetorial F é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele for o gradiente de alguma função escalar, ou seja, F = nabla phi. Uma condição necessária para isso é que o rotacional de F seja nulo em todo o domínio.
Do que calculamos no Passo 2:
nabla times F = (-2y - y^2) i + (x^2 - 2x) j
Vemos que esse rotacional não é igual a zero (a menos que y e x satisfaçam certas condições, mas queremos que seja nulo em geral). Portanto, o rotacional não é nulo em todo o domínio, o que significa que o campo F não é conservativo.

Resposta

O rotacional de F é nabla times F = (-2y - y^2) i + (x^2 - 2x) j, o divergente é nabla cdot F = 2z (x + y). Além disso, o campo vetorial F não é conservativo porque seu rotacional não é nulo.

Exercícios relacionados