Considere o campo vetorial
. Determine
o rotacional
;
o divergente
.
Verifique se o campo vetorial
é conservativo e justifique sua resposta.( 1,0 ponto)
o rotacional
o divergente
Verifique se o campo vetorial
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente trabalhar com um campo vetorial
. Nosso objetivo é:
- Encontrar o rotacional (
); - Encontrar o divergente (
); - Verificar se o campo vetorial
é conservativo.
Para isso, vamos precisar lembrar das definições e fórmulas do cálculo vetorial para rotacional e divergente, além de entender o que significa um campo ser conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional de
, que é dado por:
Vamos identificar as componentes de
:
Agora, vamos calcular cada termo do rotacional:
-
-
-
-
-
(já que não há x) -
(já que não há y)
Substituindo na fórmula do rotacional:
Passo 3
Agora, vamos calcular o divergente de
, que é dado por:
Vamos calcular cada derivada parcial:
-
-
-
(não tem z)
Somando tudo:
Passo 4
Por último, vamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele for o gradiente de alguma função escalar, ou seja,
. Uma condição necessária para isso é que o rotacional de
seja nulo em todo o domínio.
Do que calculamos no Passo 2:
Vemos que esse rotacional não é igual a zero (a menos que y e x satisfaçam certas condições, mas queremos que seja nulo em geral). Portanto, o rotacional não é nulo em todo o domínio, o que significa que o campo
não é conservativo.
Resposta
O rotacional de
é
, o divergente é
. Além disso, o campo vetorial
não é conservativo porque seu rotacional não é nulo.