Determine o máximo e mínimo global nos intervalos fixados das seguintes funções. (Dica: veja o exemplo resolvido.)
f(x)=x^4-2 x^3+2 x no intervalo [-1,1];

Passo 1

O enunciado pede para determinar o máximo e o mínimo globais da função
f(x)=x^4-2x^3+2x
no intervalo [-1,1].
Conteúdo: cálculo de máximos e mínimos em intervalo fechado, usando derivada para achar pontos críticos e avaliando também os extremos do intervalo.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=4x^3-6x^2+2
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
4x^3-6x^2+2=0
dividindo por 2:
2x^3-3x^2+1=0
Testando raízes racionais, vemos que x=1 é solução. Fazendo a divisão sintética ou fatoração, obtemos
2x^3-3x^2+1=(x-1)(2x^2-x-1)
Resolvendo 2x^2-x-1=0 por Bhaskara:
x=1pmraiz1+84=1pm34,
logo as raízes são x=1 (repetida) e x=-tfrac12.

Passo 3

Os candidatos a extremos são os pontos críticos internos e as bordas do intervalo, ou seja,
x=-1, x=-tfrac12, x=1
Calculamos f em cada um:
Para x=-1:
f(-1)=(-1)^4-2(-1)^3+2(-1)=1+2-2=1
Para x=-tfrac12:
fl(-tfrac12r)=l(-tfrac12r)^4-2l(-tfrac12r)^3+2l(-tfrac12r) =tfrac116+ tfrac14-1 =tfrac1+4-1616 =-tfrac1116
Para x=1:
f(1)=1^4-2cdot1^3+2cdot1=1-2+2=1

Passo 4

Comparando os valores:
f(-1)=1, fl(-tfrac12r)=-tfrac1116, f(1)=1
O menor valor é -tfrac1116 em x=-tfrac12, e o maior valor é 1, obtido em x=-1 e em x=1.

Resposta

Mínimo global:
fl(-tfrac12r)=-tfrac1116
Máximo global:
f(-1)=f(1)=1

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