Determine o máximo e mínimo global nos intervalos fixados das seguintes funções. (Dica: veja o exemplo resolvido.)
f(x)=raiz[3]x^2-x^3 no intervalo [0,1];

Passo 1

Neste exercício vamos determinar os pontos de máximo e mínimo global da função f(x)=raiz[3]x^2-x^3 no intervalo [0,1]. O conteúdo principal envolve o Teorema do Valor Extremo (que garante existência de extremos em função contínua num intervalo fechado) e o uso de derivadas para localizar pontos críticos.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de f. Como f(x)=(x^2-x^3)^1/3, aplicamos a regra da cadeia:
f'(x)=13(x^2-x^3)^-2/3cdot(2x-3x^2)=2x-3x^23,(x^2-x^3)^2/3
Os pontos críticos são onde f' é zero ou não existe. O numerador anula-se em x=0 e x=2/3. O denominador se anula em x=0 e x=1, mas nestes pontos f' não existe, e coincidem com os extremos de intervalo.

Passo 3

Agora avaliamos f nos candidatos:
– Em x=0:
f(0)=raiz[3]0^2-0^3=0
– Em x=1:
f(1)=raiz[3]1^2-1^3=0
– Em x=2/3: primeiro calculamos x^2-x^3=tfrac49-tfrac827=tfrac427, logo
f(2/3)=raiz[3]tfrac427=raiz[3]43

Passo 4

Comparando os valores, vemos que f atinge o valor maior em x=2/3 e o valor menor em x=0 e x=1. Portanto, no intervalo fechado temos um máximo global em 2/3 e um mínimo global nos extremos.

Resposta

Máximo global: f(2/3)=dfracraiz[3]43. Mínimo global: f(0)=f(1)=0.

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