A que taxa o nível do líquido diminui dentro de um tanque cilíndrico vertical se bombearmos para fora a uma taxa de 3.000 L / min ?
R) d hd t=-3pi r^2 m / min

Passo 1

O enunciado pede a taxa de variação da altura h de um líquido num tanque cilíndrico vertical, sabendo que o volume é bombeado para fora a 3000 L/min. O conteúdo é de taxas relacionadas (derivadas implícitas) aplicadas ao volume de um cilindro, cuja fórmula é
V = pi r^2 h
Precisamos relacionar dVdt e dhdt e converter as unidades de litros para metros cúbicos.

Passo 2

Expressamos o volume em função de h e do raio constante r:
V = pi r^2 h

Passo 3

Convertendo a taxa de saída de líquido para m^3/min:
3000 L/min = 3000times10^-3 m^3/min = 3 m^3/min
Como o volume diminui, temos
dVdt = -3 m^3/min

Passo 4

Diferenciando V = pi r^2 h em relação ao tempo t, com r constante, obtém-se
dVdt = pi r^2 ,dhdt

Passo 5

Isolando dhdt:
dhdt = dVdtpi r^2 = -3pi r^2 m/min

Resposta

dhdt = -3pi r^2 m/min

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