Resolva as integrais usando frações parciais.
$ \int \frac{5 x+1}{(2 x+1)(x-1)} d x$

Passo 1

A integral dada é integral 5x+1(2x+1)(x-1),dx. O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais: vamos expressar essa função racional como soma de frações mais simples para depois integrar usando logaritmos.

Passo 2

Assumimos que 5x+1(2x+1)(x-1)=A2x+1+Bx-1. Multiplicando ambos os lados por (2x+1)(x-1) obtemos
5x+1 = A(x-1) + B(2x+1)

Passo 3

Expandindo o lado direito e comparando coeficientes de x e termo constante, temos
A x - A + 2B x + B = (A+2B)x + (B-A)
Igualando aos coeficientes de 5x+1, montamos o sistema
A+2B = 5, B-A = 1
Resolvendo, encontra-se A=1 e B=2.

Passo 4

Substituindo na integral, fica
integral 5x+1(2x+1)(x-1),dx = integral l(12x+1 + 2x-1r),dx

Passo 5

Agora integramos cada parcela separadamente. Lembrando que

e

chegamos à antiderivada completa.

Resposta

12ln|2x+1| + 2ln|x-1| + C

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