Considere a elipse
sen
. Mostre que, se
, as curvaturas máxima e mínima da elipse acontecem nos pontos de intersecção com os eixos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma elipse definida pela função vetorial
, onde
e
são positivos e diferentes (
). O objetivo é mostrar que as curvaturas máxima e mínima dessa elipse acontecem nos pontos onde ela cruza os eixos
e
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente a fórmula da curvatura para curvas paramétricas. Se liga nos próximos passos!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a curvatura (
) de uma curva paramétrica. Se a curva é dada por
, a fórmula da curvatura é:
Aqui,
e
são as primeiras derivadas de
e
em relação a
, e
e
são as segundas derivadas.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula à nossa elipse. Primeiro, identificamos as componentes da nossa curva:
Agora, vamos calcular as derivadas necessárias:
Primeiras derivadas:
Segundas derivadas:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula da curvatura:
Vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente.
Passo 5
Simplificando o numerador:
Porque
.
Agora, o denominador:
Passo 6
Então, a curvatura fica:
Agora, para encontrar onde essa curvatura é máxima e mínima, precisamos analisar essa expressão.
Passo 7
Vamos observar o denominador:
. Para simplificar, podemos analisar onde essa expressão atinge seus valores mínimos e máximos, porque a curvatura
é inversamente proporcional a
.
Portanto:
- Quando
é mínimo, é máximo. - Quando
é máximo, é mínimo.
Passo 8
Vamos encontrar os valores de
que minimizam e maximizam
.
Derivando em relação a
:
Para encontrar extremos, igualamos a derivada a zero:
Isso ocorre quando
ou
, ou seja, nos pontos
.
Passo 9
Vamos analisar esses pontos:
-
e : Aqui, e . Então, a expressão vale . -
e : Aqui, e . Então, a expressão vale .
Como
, sem perda de generalidade, suponha que
:
- Quando
(nos eixos ), a curvatura é máxima. - Quando
(nos eixos ), a curvatura é mínima.
Resposta
Portanto, para uma elipse onde
, as curvaturas máxima e mínima acontecem nos pontos onde a elipse intersecta os eixos
e
, respectivamente.