Considere a elipse vec{r}(t) = (a cos(t), b) sen (t), 0, a, b > 0, 0 <= t <= 2 pi. Mostre que, se a != b, as curvaturas máxima e mínima da elipse acontecem nos pontos de intersecção com os eixos x e y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma elipse definida pela função vetorial , onde e são positivos e diferentes ( ). O objetivo é mostrar que as curvaturas máxima e mínima dessa elipse acontecem nos pontos onde ela cruza os eixos e .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente a fórmula da curvatura para curvas paramétricas. Se liga nos próximos passos!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a curvatura ( ) de uma curva paramétrica. Se a curva é dada por , a fórmula da curvatura é:
Aqui, e são as primeiras derivadas de e em relação a , e e são as segundas derivadas.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula à nossa elipse. Primeiro, identificamos as componentes da nossa curva:
Agora, vamos calcular as derivadas necessárias:
Primeiras derivadas:
Segundas derivadas:

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula da curvatura:
Vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 5

Simplificando o numerador:
Porque .
Agora, o denominador:

Passo 6

Então, a curvatura fica:
Agora, para encontrar onde essa curvatura é máxima e mínima, precisamos analisar essa expressão.

Passo 7

Vamos observar o denominador: . Para simplificar, podemos analisar onde essa expressão atinge seus valores mínimos e máximos, porque a curvatura é inversamente proporcional a .
Portanto:
  • Quando é mínimo, é máximo.
  • Quando é máximo, é mínimo.

Passo 8

Vamos encontrar os valores de que minimizam e maximizam .
Derivando em relação a :
Para encontrar extremos, igualamos a derivada a zero:
Isso ocorre quando ou , ou seja, nos pontos .

Passo 9

Vamos analisar esses pontos:
  • e : Aqui, e . Então, a expressão vale .
  • e : Aqui, e . Então, a expressão vale .
Como , sem perda de generalidade, suponha que :
  • Quando (nos eixos ), a curvatura é máxima.
  • Quando (nos eixos ), a curvatura é mínima.

Resposta

Portanto, para uma elipse onde , as curvaturas máxima e mínima acontecem nos pontos onde a elipse intersecta os eixos e , respectivamente.

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