Considere o campo vetorial
F(x, y)=\left(\frac{2 x y^{2}}{1+x^{2}}, 2 y \ln \left(1+x^{2}\right)\right)
  • O campo, é conservativo?
  • Considere a curva C parametrizada por \gamma:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por
\gamma(t)=(t(t-1), \cos (2 \pi t))
Calcule
\oint_{C} F \cdot d \gamma

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
F(x,y)=\Bigl(P(x,y),Q(x,y)\Bigr)=\Bigl(\frac{2xy^2}{1+x^2},\,2y\ln(1+x^2)\Bigr)
é conservativo e, em caso afirmativo, calcular o integral de linha fechado
\oint_{C}F\cdot d\gamma
para a curva parametrizada por \gamma(t)=(t(t-1),\cos(2\pi t)), t\in[0,1]. Vamos usar o teste das derivadas parciais iguais e o potencial escalar.

Passo 2

Verificamos
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{2xy^2}{1+x^2}\Bigr) =\frac{4xy}{1+x^2},
e
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2y\ln(1+x^2)\bigr) =2y\cdot\frac{2x}{1+x^2} =\frac{4xy}{1+x^2}.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x em todo \mathbb{R}^2, o campo é conservativo.

Passo 3

Para encontrar uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=F, integramos
\partial\varphi/\partial x=P em relação a x:
\varphi(x,y) =\int \frac{2xy^2}{1+x^2}\,dx =2y^2\int\frac{x}{1+x^2}\,dx =y^2\ln(1+x^2)+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Impondo \partial\varphi/\partial y=Q, temos
\frac{\partial\varphi}{\partial y} =2y\ln(1+x^2)+h'(y) \stackrel{!}{=}2y\ln(1+x^2),
logo h'(y)=0 e h(y) é constante. Podemos então tomar
\varphi(x,y)=y^2\ln(1+x^2)+C.

Passo 5

Como \varphi é definida em todo \mathbb{R}^2 e C é fechada,
\oint_{C}F\cdot d\gamma =\varphi\bigl(\gamma(1)\bigr)-\varphi\bigl(\gamma(0)\bigr).
Observando \gamma(0)=\bigl(0,1\bigr)=\gamma(1), segue
\varphi(\gamma(1))-\varphi(\gamma(0))=0.

Resposta

O campo é conservativo e
\displaystyle \oint_{C}F\cdot d\gamma=0.

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