QUESTÃO 5 - Dada uma função f:[0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, definimos a transformada de Laplace \mathcal{L}\{f\} como a função
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-s t} d t
Calcule a transformada de Laplace das funções:
e) f(t)=t^{n}, n \in \mathbb{N}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função f(t)=t^n, com n\in\mathbb{N}. Vamos usar a definição da transformada de Laplace e aplicar integração por partes de forma recursiva para obter uma fórmula em termos de n.

Passo 2

Pela definição,
\mathcal{L}\{t^n\}(s) =\int_{0}^{+\infty}t^n\,e^{-s t}\,dt.
Aplicamos integração por partes escolhendo
\displaystyle u = t^n, \displaystyle dv = e^{-s t}\,dt.
Então
\displaystyle du = n\,t^{n-1}\,dt e
\displaystyle v = -\frac{1}{s}e^{-s t}.
Isso dá
\int_{0}^{\infty}t^n e^{-s t}\,dt =\Bigl[-\frac{t^n}{s}e^{-s t}\Bigr]_{0}^{\infty} +\frac{n}{s}\int_{0}^{\infty}t^{n-1}e^{-s t}\,dt.
Para s>0, o termo \displaystyle t^n e^{-s t} tende a zero em t\to+\infty e em t=0 é zero, logo
\mathcal{L}\{t^n\}(s) =\frac{n}{s}\,\mathcal{L}\{t^{n-1}\}(s).

Passo 3

Repetindo a relação de recorrência n vezes até chegar em t^0, cuja transformada é
\mathcal{L}\{1\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\,dt =\frac{1}{s},
obtemos
\mathcal{L}\{t^n\}(s) =\frac{n}{s}\,\frac{n-1}{s}\,\cdots\frac{1}{s}\,\mathcal{L}\{1\}(s) =\frac{n!}{s^{\,n+1}}.
A fórmula vale para s>0, garantindo convergência da integral.

Resposta

\mathcal{L}\{t^n\}(s)=\frac{n!}{s^{\,n+1}},\quad s>0.

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