QUESTÃO 3 - Determine o volume de líquido contido em um tanque esférico de raio R>0 quando o nível do líquido está a uma altura h \geq 0 acima do fundo do tanque.

Passo 1

O enunciado pede o volume de líquido num tanque esférico de raio R, quando o líquido preenche até a altura h acima do fundo. O conteúdo envolvido é o cálculo de volume por integração de discos (método dos cilindros de espessura infinitesimal).

Passo 2

Escolhemos um eixo vertical y com origem no fundo da esfera ( y=0) e o centro da esfera em (0,R). A equação da esfera é
x^{2}+(y-R)^{2}=R^{2}.
Para cada y\in[0,h], o raio do disco é
r(y)=\sqrt{R^{2}-(y-R)^{2}}.

Passo 3

O volume do disco de espessura dy a uma altura y é
dV=\pi\bigl(r(y)\bigr)^{2}dy =\pi\bigl[R^{2}-(y-R)^{2}\bigr]\,dy.
Logo, o volume total até y=h é
V=\int_{0}^{h}\pi\bigl[R^{2}-(y-R)^{2}\bigr]\,dy.

Passo 4

Expandindo o integrando:
R^{2}-(y-R)^{2} =R^{2}-\bigl(y^{2}-2Ry+R^{2}\bigr) =2Ry-y^{2}.
Assim
V=\pi\int_{0}^{h}(2Ry-y^{2})\,dy =\pi\Bigl[R\,y^{2}-\tfrac{y^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{h} =\pi\Bigl(Rh^{2}-\tfrac{h^{3}}{3}\Bigr) =\frac{\pi h^{2}(3R-h)}{3}.

Resposta

V=\frac{\pi h^{2}(3R-h)}{3},\quad 0\le h\le 2R.

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