Considere a superfície fechada
formada pelas união das superfícies
Assuma que
tem orientação definida pelo vetor normal apontando para fora (na direção
). Determine o fluxo do campo vetorial
, definido por
através de
- utilizando a definição.
- utilizando um teorema do cálculo vetorial visto em aula.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
através da superfície fechada
, onde
com orientação externa (normal apontando para fora do volume). Vamos primeiro usar a definição de fluxo
separando em
e
, e depois conferir o resultado aplicando o teorema da divergência.
Passo 2
Para
parametrize com
em disco
:
Então
e o vetor área orientado externamente é
pois seu primeiro componente é positivo (sai do volume). Em
vale
Logo o fluxo em
é
Em coordenadas polares
:
Passo 3
Para
, o disco em
, a normal externa é
(aponta para
). O campo em
é
, daí
Portanto o fluxo em
é zero.
Passo 4
Somando as contribuições
Passo 5
Pelo teorema da divergência,
. O volume interno é
então
Em coordenadas cilíndricas em
:
Multiplicando por
dá novamente
.
Resposta
O fluxo de
através de
é
.