Considere a superfície fechada S formada pelas união das superfícies
\begin{gathered} S_{1}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}, x=4-y^{2}-z^{2}, x \geq 0\right\} \\\ S_{2}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}, x=0, y^{2}+z^{2} \leq 4\right\} \end{gathered}
Assuma que S tem orientação definida pelo vetor normal apontando para fora (na direção x>0 ). Determine o fluxo do campo vetorial F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, definido por
F(x, y, z)=(0, y, z)
através de S
  • utilizando a definição.
  • utilizando um teorema do cálculo vetorial visto em aula.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
F(x,y,z)=(0,y,z)
através da superfície fechada S=S_{1}\cup S_{2}, onde
S_{1}:\;x=4-y^{2}-z^{2},\;x\ge0, \quad S_{2}:\;x=0,\;y^{2}+z^{2}\le4,
com orientação externa (normal apontando para fora do volume). Vamos primeiro usar a definição de fluxo
\Phi=\iint_{S}F\cdot n\,dS
separando em S_{1} e S_{2}, e depois conferir o resultado aplicando o teorema da divergência.

Passo 2

Para S_{1} parametrize com (u,v) em disco u^{2}+v^{2}\le4:
r(u,v)=\bigl(4-u^{2}-v^{2},\;u,\;v\bigr).
Então
r_{u}=(-2u,1,0), \quad r_{v}=(-2v,0,1),
e o vetor área orientado externamente é
r_{u}\times r_{v}=(1,\,2u,\,2v)\,du\,dv,
pois seu primeiro componente é positivo (sai do volume). Em (u,v) vale
F(r(u,v))=(0,u,v), \quad F\cdot(r_{u}\times r_{v})=0\cdot1+u\cdot2u+v\cdot2v=2(u^{2}+v^{2}).
Logo o fluxo em S_{1} é
\iint_{u^{2}+v^{2}\le4}2(u^{2}+v^{2})\,du\,dv.
Em coordenadas polares u=r\cos\theta,\;v=r\sin\theta:
\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2}2r^{2}\,r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2}2r^{3}dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\Bigl[\tfrac{r^{4}}{2}\Bigr]_{0}^{2}d\theta =2\pi\cdot\tfrac{16}{2} =16\pi.

Passo 3

Para S_{2}, o disco em x=0, a normal externa é (-1,0,0) (aponta para x<0). O campo em x=0 é F=(0,y,z), daí
F\cdot n=(0,y,z)\cdot(-1,0,0)=0.
Portanto o fluxo em S_{2} é zero.

Passo 4

Somando as contribuições
\Phi=\Phi_{1}+\Phi_{2}=16\pi+0=16\pi.

Passo 5

Pelo teorema da divergência, \nabla\cdot F=\frac{\partial}{\partial x}0+\frac{\partial}{\partial y}y+\frac{\partial}{\partial z}z=2. O volume interno é
E=\{(x,y,z)\mid 0\le x\le4-y^{2}-z^{2},\;y^{2}+z^{2}\le4\},
então
\Phi=\iiint_{E}(\nabla\cdot F)\,dV =2\;\iiint_{E}dV.
Em coordenadas cilíndricas em y,z:
\iiint_{E}dV =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2}\!\int_{0}^{4-r^{2}}r\,dx\,dr\,d\theta =2\pi\int_{0}^{2}(4-r^{2})\,r\,dr =8\pi.
Multiplicando por 2 dá novamente 16\pi.

Resposta

O fluxo de F através de S é 16\pi.

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