Seja
o campo vetorial dado por
Seja
a superfície dada por
orientada com o normal apontando para fora da superfície (fora da esfera).
- Calcule
- Quanto vale
quando
é a curva que faz fronteira de
orientada positivamente respeito da orientação de
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para o campo vetorial
e para a meia-esfera
orientada com o normal para fora da esfera:
- o fluxo de
através de ; - a circulação
ao longo da fronteira , orientada positivamente em relação a .
Passo 2
Pela fórmula de Stokes temos
Logo basta calcular a integral de linha em
. A curva
é a interseção de
com o plano
, ou seja
Para definir a orientação positiva, usamos a regra da mão direita: se eu percorro
no sentido dado, a superfície
(com
) fica à minha esquerda.
Passo 3
Um parâmetro conveniente é
então
Passo 4
Em
temos
, logo
Substituindo
,
dá
Passo 5
O produto escalar é
Então
Passo 6
Pela fórmula de Stokes a integral de superfície é igual à integral de linha, logo também vale
.
Resposta
O valor de
é
.
O valor de é
.
O valor de