Seja F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} o campo vetorial dado por
F(x, y, z)=\left(z x-2 y, y z-x, x^{2}+y^{2}\right)
Seja S a superfície dada por
S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}, x^{2}+y^{2}+z^{2}=4, y \geq 0\right\}
orientada com o normal apontando para fora da superfície (fora da esfera).
  • Calcule
\iint_{S} \boldsymbol{\operatorname { r o t }}(F) \cdot d A
  • Quanto vale \oint_{C} F \cdot d \gamma quando C é a curva que faz fronteira de S orientada positivamente respeito da orientação de S.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para o campo vetorial
F(x,y,z)=\bigl(zx-2y,\;yz-x,\;x^2+y^2\bigr)
e para a meia-esfera
S:\;x^2+y^2+z^2=4,\;y\ge0
orientada com o normal para fora da esfera:
  1. o fluxo de \operatorname{rot}F através de S;
  2. a circulação \displaystyle\oint_C F\cdot d\gamma ao longo da fronteira C=\partial S, orientada positivamente em relação a S.

Passo 2

Pela fórmula de Stokes temos
\iint_{S}\operatorname{rot}F\cdot dA =\oint_{\partial S}F\cdot d\gamma.
Logo basta calcular a integral de linha em C. A curva C é a interseção de
\{x^2+y^2+z^2=4\} com o plano y=0, ou seja
C:\;x^2+z^2=4,\;y=0.
Para definir a orientação positiva, usamos a regra da mão direita: se eu percorro C no sentido dado, a superfície S (com y>0) fica à minha esquerda.

Passo 3

Um parâmetro conveniente é
r(t)=\bigl(2\cos t,\;0,\;2\sin t\bigr),\quad t\in[0,2\pi],
então
dr(t)=\bigl(-2\sin t,\;0,\;2\cos t\bigr)\,dt.

Passo 4

Em C temos y=0, logo
F(x,0,z)=\bigl(zx,\;-x,\;x^2\bigr).
Substituindo x=2\cos t, z=2\sin t
F\bigl(r(t)\bigr) =\bigl(4\sin t\cos t,\,-2\cos t,\;4\cos^2 t\bigr).

Passo 5

O produto escalar é
F(r(t))\cdot r'(t) =(4\sin t\cos t)(-2\sin t)+(-2\cos t)\cdot0+(4\cos^2 t)(2\cos t) =8\cos t\,( \cos^2 t-\sin^2 t ) =8\cos t\cos2t.
Então
\oint_C F\cdot d\gamma =\int_{0}^{2\pi}8\cos t\cos2t\,dt =4\int_{0}^{2\pi}\bigl(\cos3t+\cos t\bigr)dt =0.

Passo 6

Pela fórmula de Stokes a integral de superfície é igual à integral de linha, logo também vale 0.

Resposta

O valor de \displaystyle\iint_{S}\operatorname{rot}F\cdot dA é 0.
O valor de \displaystyle\oint_{C}F\cdot d\gamma é 0.

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