Considere o campo vetorial
F(x, y)=(-yx^2+y^2, xx^2+y^2)
Mostre que ointC F cdot d r=2 pi, para qualquer curva fechada simples C orientada no sentido positivo. Mostre que ointC F cdot d r=0, para qualquer curva fechada simples C orientada no sentido positivo que não contenha a origem.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
vec F(x,y)=l(-yx^2+y^2,,xx^2+y^2r)
e pede para mostrar que
  1. ointCvec Fcdot dvec r=2pi para qualquer curva fechada simples C orientada positivamente que encerre a origem, e
  2. ointCvec Fcdot dvec r=0 para qualquer curva fechada simples C orientada positivamente que não contenha a origem.
    Para isso vamos usar o Teorema de Green em domínios onde vec F seja C^1, e depois um truque de excluir um pequeno disco na vizinhança da origem.

Passo 2

Verificamos o rotacional de vec F em qualquer ponto (x,y)neq(0,0). Escrevendo vec F=(P,Q) com
P(x,y)=-yx^2+y^2, Q(x,y)=xx^2+y^2,
temos
partial Qpartial x =(x^2+y^2)cdot1 - xcdot2x(x^2+y^2)^2 =x^2+y^2-2x^2(x^2+y^2)^2 =y^2-x^2(x^2+y^2)^2,
partial Ppartial y =-(x^2+y^2)cdot1 - ycdot2y(x^2+y^2)^2 =-x^2+y^2-2y^2(x^2+y^2)^2 =-x^2-y^2(x^2+y^2)^2
Logo
partial Qpartial x-partial Ppartial y =y^2-x^2(x^2+y^2)^2 -l(-x^2-y^2(x^2+y^2)^2r) =0
Isso mostra que vec F é irrotacional em qualquer região que não contenha a origem.

Passo 3

Se C é uma curva fechada simples orientada positivamente que não contém a origem, podemos aplicar Green diretamente no interior de C. Como o rotacional é zero, obtemos
ointCvec Fcdot dvec r =integral duplainterior(C) l(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA =0
Isso resolve a segunda parte: integral nula quando a origem fica fora de C.

Passo 4

Agora seja C uma curva fechada simples orientada positivamente que contém a origem. Tomamos um pequeno círculo Cvarepsilon de raio varepsilon ao redor da origem, também orientado positivamente. Considere a região anelar R entre C e Cvarepsilon. Em R o rotacional de vec F é zero, logo por Green
ointCvec Fcdot dvec r +l(-ointCvarepsilonvec Fcdot dvec rr) =integral duplaR0,dA =0
Note que colocamos sinal negativo em ointCvarepsilon porque sua orientação, vista como fronteira de R, é contrária à orientação positiva padrão. Assim
ointCvec Fcdot dvec r =ointCvarepsilonvec Fcdot dvec r

Passo 5

Falta calcular ointCvarepsilonvec Fcdot dvec r. Parametrizamos Cvarepsilon por
vec r(t)=(varepsiloncos t,;varepsilonsin t), tin[0,2pi],
então
dvec r =(-varepsilonsin t,;varepsiloncos t),dt, vec F(vec r(t)) =l(-varepsilonsin tvarepsilon^2,;varepsiloncos tvarepsilon^2r) =l(-sin tvarepsilon,;cos tvarepsilonr)
O produto escalar é
vec Fl(vec r(t)r)cdot dvec r =l(-tfracsin tvarepsilonr)l(-varepsilonsin tr) +l(tfraccos tvarepsilonr)l(varepsiloncos tr) =sin^2t+cos^2t =1
Logo
ointCvarepsilonvec Fcdot dvec r =integral0^2pi1,dt =2pi
Daí segue que
ointCvec Fcdot dvec r =2pi

Resposta

Para qualquer curva fechada simples C orientada positivamente que não contenha a origem,
ointCvec Fcdot dvec r = 0,
e para qualquer curva C que conte a origem,
ointCvec Fcdot dvec r = 2pi

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