Considere o campo vetorial
Mostre que
, para qualquer curva fechada simples
orientada no sentido positivo. Mostre que
, para qualquer curva fechada simples
orientada no sentido positivo que não contenha a origem.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pede para mostrar que
-
para qualquer curva fechada simples orientada positivamente que encerre a origem, e -
para qualquer curva fechada simples orientada positivamente que não contenha a origem.
Para isso vamos usar o Teorema de Green em domínios ondeseja , e depois um truque de excluir um pequeno disco na vizinhança da origem.
Passo 2
Verificamos o rotacional de
em qualquer ponto
. Escrevendo
com
temos
Logo
Isso mostra que
é irrotacional em qualquer região que não contenha a origem.
Passo 3
Se
é uma curva fechada simples orientada positivamente que não contém a origem, podemos aplicar Green diretamente no interior de
. Como o rotacional é zero, obtemos
Isso resolve a segunda parte: integral nula quando a origem fica fora de
.
Passo 4
Agora seja
uma curva fechada simples orientada positivamente que contém a origem. Tomamos um pequeno círculo
de raio
ao redor da origem, também orientado positivamente. Considere a região anelar
entre
e
. Em
o rotacional de
é zero, logo por Green
Note que colocamos sinal negativo em
porque sua orientação, vista como fronteira de
, é contrária à orientação positiva padrão. Assim
Passo 5
Falta calcular
. Parametrizamos
por
então
O produto escalar é
Logo
Daí segue que
Resposta
Para qualquer curva fechada simples
orientada positivamente que não contenha a origem,
e para qualquer curva
que conte a origem,