Encontre uma(todas as) primitiva(s) de cada uma das seguintes funções:
f(x)=2^x+1x ln 3-4 x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar todas as primitivas da função f(x) = 2^x + 1x ln 3 - 4x + 1 . Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente da busca por antiderivadas ou primitivas de funções. Para resolver isso, vamos integrar cada termo da função separadamente, usando regras de integração básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar o termo 2^x . Você lembra que a integral de uma função exponencial da forma a^x é dada por:
integral a^x , dx = a^xln a + C
Aqui, a = 2 , então aplicando a fórmula:
integral 2^x , dx = 2^xln 2 + C1

Passo 3

Agora, o segundo termo é 1x ln 3 . Podemos reescrever isso como 1ln 3 cdot 1x . Sabemos que a integral de 1x é o logaritmo natural:
integral 1x , dx = ln |x| + C
Então, aplicando isso ao nosso termo:
integral 1x ln 3 , dx = 1ln 3 cdot ln |x| + C2
Como estamos lidando com integrais indefinidas, podemos ignorar o valor absoluto se x for positivo.

Passo 4

O terceiro termo é -4x . A integral de x é x^22 , então multiplicando por -4:
integral -4x , dx = -4 cdot x^22 + C = -2x^2 + C3

Passo 5

Por fim, temos o termo constante 1 . A integral de uma constante k é kx :
integral 1 , dx = x + C4

Resposta

Juntando todas as integrais que calculamos, a primitiva de f(x) = 2^x + 1x ln 3 - 4x + 1 é:
F(x) = 2^xln 2 + ln xln 3 - 2x^2 + x + C
Onde C é a constante de integração.

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