Verifique se o campo vetorial
F(x, y)=(2 x^3 y^4+x, 2 x^4 y^3+y)
é conservativo e, se o for, determine um potencial para F.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A gente precisa verificar se o campo vetorial dado é conservativo e, se for, encontrar um potencial para ele. Isso envolve entender conceitos de campos vetoriais conservativos e funções potenciais. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e algumas propriedades de campos conservativos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo vetorial F = (P, Q) é conservativo se existe uma função potencial V(x, y) tal que:
F = nabla V = ( partial Vpartial x, partial Vpartial y )
Uma condição importante para verificar se o campo é conservativo é que as derivadas cruzadas de P e Q sejam iguais, ou seja:
partial Ppartial y = partial Qpartial x

Passo 3

Vamos identificar P e Q no nosso caso:
P(x, y) = 2x^3y^4 + x
Q(x, y) = 2x^4y^3 + y
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Ppartial y = partialpartial y (2x^3y^4 + x) = 8x^3y^3
partial Qpartial x = partialpartial x (2x^4y^3 + y) = 8x^3y^3
Como partial Ppartial y = partial Qpartial x, o campo vetorial F é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função potencial V(x, y). Para isso, integramos P em relação a x:
V(x, y) = integral P(x, y) , dx = integral (2x^3y^4 + x) , dx
Integrando termo a termo:
V(x, y) = 2y^4 cdot x^44 + x^22 + h(y) = 12y^4x^4 + 12x^2 + h(y)
Aqui, h(y) é uma função que depende apenas de y, já que a integração foi em relação a x.

Passo 5

Para encontrar h(y), vamos derivar V(x, y) em relação a y e igualar ao componente Q do campo vetorial:
partial Vpartial y = partialpartial y ( 12y^4x^4 + 12x^2 + h(y) ) = 2x^4y^3 + h'(y)
Sabemos que partial Vpartial y = Q = 2x^4y^3 + y. Então:
2x^4y^3 + h'(y) = 2x^4y^3 + y
Simplificando:
h'(y) = y
Integrando em relação a y:
h(y) = y^22 + C
Onde C é a constante de integração, que podemos desconsiderar na função potencial.

Resposta

O campo vetorial F(x, y) é conservativo, e uma função potencial para ele é:
V(x, y) = 12 y^4 x^4 + 12 x^2 + 12 y^2

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