Verifique se o campo vetorial
é conservativo e, se o for, determine um potencial para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A gente precisa verificar se o campo vetorial dado é conservativo e, se for, encontrar um potencial para ele. Isso envolve entender conceitos de campos vetoriais conservativos e funções potenciais. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e algumas propriedades de campos conservativos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função potencial
tal que:
Uma condição importante para verificar se o campo é conservativo é que as derivadas cruzadas de
e
sejam iguais, ou seja:
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso caso:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Como
, o campo vetorial
é conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função potencial
. Para isso, integramos
em relação a
:
Integrando termo a termo:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, já que a integração foi em relação a
.
Passo 5
Para encontrar
, vamos derivar
em relação a
e igualar ao componente
do campo vetorial:
Sabemos que
. Então:
Simplificando:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração, que podemos desconsiderar na função potencial.
Resposta
O campo vetorial
é conservativo, e uma função potencial para ele é: