Encontre uma(todas as) primitiva(s) de cada uma das seguintes funções:
f(x)=4 raizx+1x-6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa encontrar todas as primitivas da função f(x) = 4 raizx + 1x - 6 . Isso significa que vamos achar uma função F(x) cuja derivada é f(x) . Para isso, vamos usar a técnica de integração, que é o processo inverso da derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a parte 4 raizx . Sabemos que raizx é o mesmo que x^1/2 . A regra de integração para potências de x é:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
Aplicando isso:
integral 4 raizx , dx = 4 integral x^1/2 , dx = 4 ( x^3/23/2 ) = 83 x^3/2

Passo 3

Agora, vamos integrar 1x . A integral de 1x é um caso especial:
integral 1x , dx = ln|x| + C
Então:
integral 1x , dx = ln|x|

Passo 4

Por último, vamos integrar o termo constante -6 . A regra para integrar uma constante a é:
integral a , dx = a x + C
Aplicando isso:
integral -6 , dx = -6x

Passo 5

Agora, juntamos todas as partes que integramos:
F(x) = 83 x^3/2 + ln|x| - 6x + C
Onde C é a constante de integração que representa todas as possíveis primitivas da função original.

Resposta

A primitiva de f(x) = 4 raizx + 1x - 6 é:
F(x) = 83 x^3/2 + ln|x| - 6x + C

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