Considere o campo vetorial
.
Calcule todos os valores possíveis de
, onde C é uma curva simples fechada de classe
.
Calcule todos os valores possíveis de
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede o valor de
onde é qualquer curva simples fechada de classe
.
O conteúdo envolvido é cálculo de campos conservativos, potencial multivalorado, singularidade no origem e número de volta (winding number).
e pede o valor de
onde
O conteúdo envolvido é cálculo de campos conservativos, potencial multivalorado, singularidade no origem e número de volta (winding number).
Passo 2
Verificamos que em
o campo é
e tem
Logo, localmente
é um campo conservativo fora da origem.
Passo 3
Em coordenadas polares
temos
e o diferencial de posição é
.
Logo
Logo
Isto mostra que localmente existe potencial
, pois
.
Passo 4
Como
é uma função multivalorada (a cada volta em
em torno da origem
aumenta ou diminui de
), a variação total de
numa volta é
onde
é o índice de enrolamento de
em torno da origem (número de voltas orientadas).