Considere o campo vetorial F(x, y)=(-yx^2+y^2, xx^2+y^2).
Calcule todos os valores possíveis de ointC F cdot dr, onde C é uma curva simples fechada de classe C^1.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y)=l(P(x,y),Q(x,y)r)=l(tfrac-yx^2+y^2,,tfracxx^2+y^2r)
e pede o valor de
ointCFcdotdr
onde C é qualquer curva simples fechada de classe C^1.
O conteúdo envolvido é cálculo de campos conservativos, potencial multivalorado, singularidade no origem e número de volta (winding number).

Passo 2

Verificamos que em R^2setminus(0,0) o campo é C^1 e tem
partial Qpartial x -partial Ppartial y =partialpartial x!l(tfracxx^2+y^2r) -partialpartial y!l(tfrac-yx^2+y^2r) =0
Logo, localmente F é um campo conservativo fora da origem.

Passo 3

Em coordenadas polares (r,theta) temos
F(r,theta) =l(-rsinthetar^2,,rcosthetar^2r) =l(-sinthetar,,costhetarr)
e o diferencial de posição é
dr=(dr,,r,dtheta).
Logo
Fcdotdr =-sinthetar,dr +costhetar,r,dtheta =dtheta
Isto mostra que localmente existe potencial phi(r,theta)=theta, pois dphi=dtheta.

Passo 4

Como phi=theta é uma função multivalorada (a cada volta em C em torno da origem theta aumenta ou diminui de 2pi), a variação total de phi numa volta é
De<aphi =ointCdtheta =2pi k,
onde kinZ é o índice de enrolamento de C em torno da origem (número de voltas orientadas).

Resposta

ointCFcdotdr=2pi k, kinZ

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