- (a)
que é uma sequência convergente?
(b) O que é uma série convergente?
(c) O que significa
?
(d) O que significa
?
- (a) O que é uma sequência limitada?
(b) O que é uma sequência monótona?
(b) O que é uma série convergente?
(c) O que significa
(d) O que significa
(b) O que é uma sequência monótona?
Passo 1
O enunciado pede definições e significados relacionados a sequências e séries: convergência de sequência, convergência de série, interpretação de
e de
, além de sequência limitada e monótona. Vamos usar as definições formais via critério
–
para sequência e critério de soma parcial para série.
Passo 2
Uma sequência
é convergente se existir um número real
tal que, para todo
, exista
satisfazendo
para todo
. Nesse caso dizemos
.
Passo 3
Uma série
é convergente se a sequência de somas parciais
converge para algum valor finito
. Ou seja, para todo
existe
tal que
para todo
.
Passo 4
A igualdade
significa que a sequência
converge para o valor
. Em outras palavras, dados
, os termos
ficam arbitrariamente próximos de
sempre que
for suficientemente grande.
Passo 5
A igualdade
significa que a série converge e que o limite de suas somas parciais é
. Se
, então
.
Passo 6
Uma sequência
é limitada se existe uma constante
tal que
para todo
. Isso garante que todos os termos de
ficam presos dentro do intervalo
.
Passo 7
Uma sequência
é monótona se é ou não decrescente (isto é,
) ou não crescente (isto é,
). Se as desigualdades forem estritas, dizemos que é estritamente monótona.
Resposta
1.(a) Uma sequência
é convergente se existir
tal que, para todo
, existe
com
sempre que
.
(b) Uma série é convergente se a sequência de somas parciais
converge para um valor finito.
(c) significa que a sequência
se aproxima arbitrariamente de
conforme
cresce, no sentido
–
.
(d) significa que a série converge e que o limite de suas somas parciais é
.
2.(a) Uma sequência é limitada se existe
tal que
para todo
.
(b) Uma sequência é monótona se satisfaz
(não decrescente) ou
(não crescente) para todo
.
(b) Uma série
(c)
(d)
2.(a) Uma sequência
(b) Uma sequência