1. (a) O que é uma sequência convergente?
    (b) O que é uma série convergente?
    (c) O que significa lim n infty an=3 ?
    (d) O que significa sumn=1^infty an=3 ?
  2. (a) O que é uma sequência limitada?
    (b) O que é uma sequência monótona?

Passo 1

O enunciado pede definições e significados relacionados a sequências e séries: convergência de sequência, convergência de série, interpretação de limntoinftyan=3 e de sumn=1^infty an=3, além de sequência limitada e monótona. Vamos usar as definições formais via critério varepsilon N para sequência e critério de soma parcial para série.

Passo 2

Uma sequência (an) é convergente se existir um número real L tal que, para todo varepsilon>0, exista NinN satisfazendo
|an - L| < varepsilon
para todo n>= N. Nesse caso dizemos limntoinftyan = L.

Passo 3

Uma série sumn=1^infty an é convergente se a sequência de somas parciais
Sn = sumk=1^n ak
converge para algum valor finito S. Ou seja, para todo varepsilon>0 existe N tal que |Sn - S|<varepsilon para todo n>= N.

Passo 4

A igualdade
limntoinftyan = 3
significa que a sequência (an) converge para o valor 3. Em outras palavras, dados varepsilon>0, os termos an ficam arbitrariamente próximos de 3 sempre que n for suficientemente grande.

Passo 5

A igualdade
sumn=1^infty an = 3
significa que a série converge e que o limite de suas somas parciais é 3. Se Sn=sumk=1^n ak, então limntoinftySn=3.

Passo 6

Uma sequência (an) é limitada se existe uma constante M>0 tal que
|an|<= M
para todo n. Isso garante que todos os termos de (an) ficam presos dentro do intervalo [-M,M].

Passo 7

Uma sequência (an) é monótona se é ou não decrescente (isto é,
an+1>= anforall n
) ou não crescente (isto é,
an+1<= anforall n
). Se as desigualdades forem estritas, dizemos que é estritamente monótona.

Resposta

1.(a) Uma sequência (an) é convergente se existir LinR tal que, para todo varepsilon>0, existe N com |an-L|<varepsilon sempre que n>= N.
(b) Uma série sumn=1^infty an é convergente se a sequência de somas parciais Sn=sumk=1^n ak converge para um valor finito.
(c) limntoinftyan=3 significa que a sequência (an) se aproxima arbitrariamente de 3 conforme n cresce, no sentido varepsilon N.
(d) sumn=1^infty an=3 significa que a série converge e que o limite de suas somas parciais é 3.
2.(a) Uma sequência (an) é limitada se existe M>0 tal que |an|<= M para todo n.
(b) Uma sequência (an) é monótona se satisfaz an+1>= an (não decrescente) ou an+1<= an (não crescente) para todo n.

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