Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos {2}(n)}{3{n}}

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série de termos não-negativos
sumn=1^infty cos^2(n)3^n
Como sabemos que cos^2(n) é sempre um número entre 0 e 1, podemos usar o teste da comparação com uma série geométrica.

Passo 2

Observe que, para todo n,
0 ;<=;cos^2(n);<=;1,
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0 ;<=;cos^2(n)3^n;<=;13^n

Passo 3

A série
sumn=1^infty 13^n
é uma série geométrica de razão 1/3, que satisfaz 0<1/3<1. Portanto ela converge. Pelo teste da comparação, como cos^2(n)3^n<=13^n e a série de cima converge, concluímos que a série original também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty cos^2(n)3^n é convergente.

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