Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n} \frac{n}{2^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série alternante
sumn=1^infty(-1)^nn2^n.
Aqui vamos usar o conceito de convergência absoluta e o teste da razão: se a série dos valores absolutos converge, então a série original também converge.

Passo 2

Consideramos a série dos valores absolutos
sumn=1^inftyl|(-1)^ntfracn2^nr|=sumn=1^inftyn2^n.
Aplicando o teste da razão, calculamos
L=limntoinftyn+12^,n+1n2^n =limntoinftyn+1ncdot12 =12
Como L=tfrac12<1, a série sumn=1^inftyn2^n convergente.

Passo 3

Pelo resultado do passo anterior, a série original converge absolutamente. Logo, ela converge.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^nn2^n é convergente (convergência absoluta).

Exercícios relacionados