Determine se a série converge ou diverge.
7. sumk-1^infty k(23)^k

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
sumk=1^infty k l(tfrac23r)^k
O conteúdo principal aqui são séries de tipo aritmético–geométrico e critério da razão, além da fórmula conhecida
sumk=1^infty k,r^k = r(1-r)^2(lvert rrvert<1)

Passo 2

Aplique o critério da razão a ak = kl(tfrac23r)^k. Calcule
L = limktoinfty|ak+1ak| = limktoinftyk+1kcdot2/31 = 23<1
Como L<1, a série converge absolutamente.

Passo 3

Para obter a soma, use a identidade
sumk=1^infty k,r^k = r(1-r)^2
Aqui r=tfrac23, logo
sumk=1^infty k l(tfrac23r)^k = tfrac23l(1-tfrac23r)^2 = tfrac23(tfrac13)^2 = 6

Resposta

A série converge e
sumk=1^infty k l(tfrac23r)^k = 6

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