Guestão 17. Calcule as integrais abaixo:
n in N, com ;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
I(n)=integral-infty^infty1(1+x^2)^n,dx
onde n é número natural. O conteúdo envolve integrais improprias de funções racionais e vamos usar que a função é par e uma substituição trigonométrica.

Passo 2

Como a função f(x)=1/(1+x^2)^n é par, a integral sobre (-infty,infty) vale o dobro da integral sobre (0,infty):
I(n)=2integral0^infty1(1+x^2)^n,dx

Passo 3

Fazendo a substituição trigonométrica x=tantheta, temos dx=sec^2theta,dtheta e 1+x^2=sec^2theta. Os limites x=0totheta=0 e xtoinftytothetatopi/2. Assim

Passo 4

Agora usamos a fórmula padrão de integrale de potências de cosseno:
integral0^pi/2cos^mtheta,dtheta=raizpi,Gammal(m+12r)2,Gammal(m+22r)
Aqui m=2n-2, logo
integral0^pi/2cos^2n-2theta,dtheta=raizpi,Gammal(n-tfrac12r)2,Gamma(n)
Multiplicando por 2 obtemos
I(n)=2cdotraizpi,Gammal(n-tfrac12r)2,Gamma(n)=raizpi,Gammal(n-tfrac12r)Gamma(n)

Resposta

I(n)=raizpi,Gammal(n-tfrac12r)Gamma(n).

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