Seja
a função definida por
Seja
o subconjunto de
definido por
Encontrar os extremos de
na região
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos da função
sujeita às duas restrições
O conteúdo aqui é otimização com multiplicadores de Lagrange, e precisamos usar que em um ponto extremo sujeito a restrições diferenciáveis vale
Passo 2
Vamos calcular os gradientes:
Substituindo em
dá o sistema:
além de
e
.
Passo 3
Da terceira equação
vem
Da segunda
obtemos
jo enquanto
, pois
não satisfaria
.
Passo 4
Substituindo
e
na primeira equação:
Multiplicando por 4:
o que leva a
Passo 5
Agora usamos a restrição elíptica
. Substituindo
obtemos
Logo
e então
Passo 6
Para cada caso, achamos
pela reta
:
- Se
então - Se
então
Passo 7
Por fim, calculamos
:
- Em
: - Em
:
Portanto, encontramos um mínimo e um máximo globais.
Passo 8
Os pontos estão em uma curva fechada e diferenciável (interseção de um cilindro elíptico com um plano), logo os valores encontrados são extremos globais.
Resposta
Mínimo de
é
em
e máximo de
é
em
.