Seja f: R^3 R a função definida por
f(x, y, z)=x-y-z
Seja A o subconjunto de R^3 definido por
A=(x, y, z) in R^3: x^2+2 y^2=1 e 3 x-4 z=0
Encontrar os extremos de f na região A.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos da função f(x,y,z)=x-y-z sujeita às duas restrições
g1(x,y,z)=x^2+2y^2-1=0,
g2(x,y,z)=3x-4z=0
O conteúdo aqui é otimização com multiplicadores de Lagrange, e precisamos usar que em um ponto extremo sujeito a restrições diferenciáveis vale
nabla f=lambda,nabla g1+mu,nabla g2

Passo 2

Vamos calcular os gradientes:
nabla f=(1,-1,-1),
nabla g1=(2x,4y,0),
nabla g2=(3,0,-4)
Substituindo em nabla f=lambdanabla g1+munabla g2 dá o sistema:
1=2xlambda+3mu,
-1=4ylambda,
-1=-4mu,
além de x^2+2y^2=1 e 3x-4z=0.

Passo 3

Da terceira equação -1=-4mu vem
mu=14
Da segunda -1=4ylambda obtemos
lambda=-14y,
jo enquanto yneq0, pois y=0 não satisfaria -1=0.

Passo 4

Substituindo mu e lambda na primeira equação:
1=2xl(-14yr)+3cdot14 = -x2y+34
Multiplicando por 4:
4=-2xy+3
o que leva a
-2xy=1,Rightarrow,x=- y2

Passo 5

Agora usamos a restrição elíptica x^2+2y^2=1. Substituindo x=-y/2 obtemos
l(- y2r)^2+2y^2=y^24+2y^2=9y^24=1
Logo
y^2=49,Rightarrow,y=pm23,
e então
x=- y2=-13,&y=23,13,&y=-23

Passo 6

Para cada caso, achamos z pela reta 3x-4z=0:
  • Se (x,y)=(-1/3,2/3) então z=3x4=-14
  • Se (x,y)=(1/3,-2/3) então z=3x4=14

Passo 7

Por fim, calculamos f=x-y-z:
  • Em (-1/3,2/3,-1/4): f=-tfrac13-tfrac23-(-tfrac14)=-1+tfrac14=-tfrac34
  • Em (1/3,-2/3,1/4): f=tfrac13-(-tfrac23)-tfrac14=1-tfrac14=tfrac34
Portanto, encontramos um mínimo e um máximo globais.

Passo 8

Os pontos estão em uma curva fechada e diferenciável (interseção de um cilindro elíptico com um plano), logo os valores encontrados são extremos globais.

Resposta

Mínimo de f é -3/4 em (-1/3,,2/3,,-1/4) e máximo de f é 3/4 em (1/3,,-2/3,,1/4).

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