Considere o campo vetorial em
dado pela expressāo a seguir,
.
a) O campo
é conservativo? Justifique. Caso afirmativo, encontre uma função
tal que
.
a) O campo
Passo 1
Temos o campo vetorial
em
. Precisamos verificar se é conservativo, ou seja, se existe
tal que
. Para isso, vamos usar o critério do rotacional nulo em domínio simplesmente conexo.
Passo 2
Calculamos o rotacional de
, dado por
. A primeira componente é
, com
e
.
Temos e
. Logo, a primeira componente do rotacional é
.
Temos
Passo 3
A segunda componente é
, com
. Calculamos
e
, resultando em zero.
A terceira componente é . Aqui
e
, também dando zero.
A terceira componente é
Passo 4
Como todas as componentes do rotacional são zero e o domínio
é simplesmente conexo, concluímos que
é conservativo.
Passo 5
Para encontrar o potencial
, integramos
em relação a
:
Portanto,
.
Usamos as outras parciais para determinar . Da igualdade
obtemos
, logo
. Em seguida,
deve ser igual a
, implicando
. Então
é constante.
Usamos as outras parciais para determinar
Passo 6
Assim, um potencial é
(até constante).
Resposta
Sim. Um potencial é
.