Considere o campo vetorial em R^3 dado pela expressāo a seguir, F(x, y, z)=y z e^x z i+e^x z j+x y e^x z k.
a) O campo F é conservativo? Justifique. Caso afirmativo, encontre uma função f(x, y, z) tal que F=nabla f.

Passo 1

Temos o campo vetorial F(x,y,z) = y z e^xz i + e^xz j + x y e^xz k em R^3. Precisamos verificar se é conservativo, ou seja, se existe f tal que nabla f = F. Para isso, vamos usar o critério do rotacional nulo em domínio simplesmente conexo.

Passo 2

Calculamos o rotacional de F, dado por nablatimes F. A primeira componente é Q=e^xz, com R=xy e^xz e partial Rpartial y = x e^xz.
Temos partial Qpartial z = x e^xz e x e^xz - x e^xz = 0. Logo, a primeira componente do rotacional é .

Passo 3

A segunda componente é partial Ppartial z - partial Rpartial x, com P=yz e^xz. Calculamos partial Ppartial z = y e^xz + x y z e^xz e partial Rpartial x = y e^xz + x y z e^xz, resultando em zero.
A terceira componente é partial Qpartial x - partial Ppartial y. Aqui partial Qpartial x = z e^xz e partial Ppartial y = z e^xz, também dando zero.

Passo 4

Como todas as componentes do rotacional são zero e o domínio R^3 é simplesmente conexo, concluímos que F é conservativo.

Passo 5

Para encontrar o potencial f(x,y,z), integramos partial fpartial x = P = y z e^xz em relação a x:
integral y z e^xz ,dx = y e^xz + C(y,z)
Portanto, f = y e^xz + C(y,z).
Usamos as outras parciais para determinar C. Da igualdade partial fpartial y = e^xz obtemos partial Cpartial y=0, logo C=D(z). Em seguida, partial fpartial z = x y e^xz + D'(z) deve ser igual a R = x y e^xz, implicando D'(z)=0. Então D é constante.

Passo 6

Assim, um potencial é f(x,y,z) = y e^xz (até constante).

Resposta

Sim. Um potencial é f(x,y,z)=y e^xz+C.

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