Exercício 6 - Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem da função:
f(x, y)=e^x y-y x^4 cos x.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=e^xy-y,x^4cos x
Aqui o conteúdo é derivação parcial usando regra da cadeia e regra do produto: primeiro calculamos partial fpartial x e partial fpartial y, depois derivamos cada uma novamente em x e em y.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem.
Para fx=partial fpartial x:
  • partialpartial xe^xy=y,e^xy pela regra da cadeia.
  • partialpartial xl(-y,x^4cos xr)=-yddxl(x^4cos xr).
    E pela regra do produto
    ddx(x^4cos x)=4x^3cos x -x^4sin x.
    Logo
fx=y,e^xy-yl(4x^3cos x -x^4sin xr) =y,e^xy-4y,x^3cos x+y,x^4sin x
Para fy=partial fpartial y:
  • partialpartial ye^xy=x,e^xy.
  • partialpartial yl(-y,x^4cos xr)=-x^4cos x.
    Logo
fy=x,e^xy-x^4cos x

Passo 3

Calcular fxx=partialpartial xl(fxr).
De fx=y,e^xy-4y,x^3cos x+y,x^4sin x:
  1. partialpartial x(y,e^xy)=y^2,e^xy
  2. partialpartial x(-4y,x^3cos x)=-4yl(3x^2cos x -x^3sin xr)=-12y,x^2cos x+4y,x^3sin x
  3. partialpartial x(y,x^4sin x)=yl(4x^3sin x +x^4cos xr)=4y,x^3sin x+y,x^4cos x
Somando,
fxx =y^2,e^xy -12y,x^2cos x +4y,x^3sin x +4y,x^3sin x +y,x^4cos x
e combinando termos iguais,
fxx =y^2,e^xy -12y,x^2cos x +8y,x^3sin x +y,x^4cos x

Passo 4

Calcular as derivadas mistas.
Para fxy=partialpartial y(fx):
A partir de fx=y,e^xy-4y,x^3cos x+y,x^4sin x:
  1. partialpartial y(y,e^xy)=e^xy+ycdot x,e^xy=e^xy(1+xy)
  2. partialpartial y(-4y,x^3cos x)=-4x^3cos x
  3. partialpartial y(y,x^4sin x)=x^4sin x
    Logo
fxy =e^xy(1+xy) -4x^3cos x +x^4sin x
Por Clairaut (continuidade das segundas derivadas) fyx=fxy.

Passo 5

Calcular fyy=partialpartial y(fy).
De fy=x,e^xy-x^4cos x:
  • partialpartial y(x,e^xy)=x^2,e^xy
  • partialpartial y(-x^4cos x)=0
    Portanto
fyy=x^2,e^xy

Resposta

fxx=y^2,e^xy-12y,x^2cos x+8y,x^3sin x+y,x^4cos x,
fxy=fyx=e^xy(1+xy)-4x^3cos x+x^4sin x,
fyy=x^2,e^xy

Exercícios relacionados