Exercício 6 - Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem da função:
.
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem de
Aqui o conteúdo é derivação parcial usando regra da cadeia e regra do produto: primeiro calculamos
e
, depois derivamos cada uma novamente em
e em
.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem.
Para :
Para
-
pela regra da cadeia. -
.
E pela regra do produto
.
Logo
Para
:
-
. -
.
Logo
Passo 3
Calcular
.
De :
De
Somando,
e combinando termos iguais,
Passo 4
Calcular as derivadas mistas.
Para :
A partir de :
Para
A partir de
-
-
-
Logo
Por Clairaut (continuidade das segundas derivadas)
.
Passo 5
Calcular
.
De :
De
-
-
Portanto