Use o teorema de Stokes para calcular
, onde
, e
é a curva da interseção do plano
com o cilindro
, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Passo 1
O enunciado pede
onde
e
é a curva de interseção do cilindro
com o plano
, orientada anti-horário vista de cima.
Vamos usar o Teorema de Stokes para transformar essa integral de linha numa integral de superfície sobre a parte do plano limitada por .
Vamos usar o Teorema de Stokes para transformar essa integral de linha numa integral de superfície sobre a parte do plano limitada por
Passo 2
Calculamos o rotor de
:
Passo 3
Parametrizamos a superfície
no plano
por
com
variando no disco
.
Então
Então
e
escolhendo o sinal que dá componente
(para manter o contorno CCW visto de cima).
Passo 4
Pelo Teorema de Stokes,
Passo 5
Separamos a integral:
Logo