Use o teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r, onde F(x, y, z)=(-y^2, x, z^2), e C é a curva da interseção do plano y+z=2 com o cilindro x^2+y^2=1, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

O enunciado pede
integralCFcdot dr,
onde F(x,y,z)=(-y^2,,x,,z^2) e C é a curva de interseção do cilindro x^2+y^2=1 com o plano y+z=2, orientada anti-horário vista de cima.
Vamos usar o Teorema de Stokes para transformar essa integral de linha numa integral de superfície sobre a parte do plano limitada por C.

Passo 2

Calculamos o rotor de :

Passo 3

Parametrizamos a superfície S no plano y+z=2 por
r(x,y)=(x,y,2-y),
com (x,y) variando no disco Dcolon x^2+y^2<=1.
Então
rx=(1,0,0), ry=(0,1,-1),
e
dS =rxtimesry,dA =(0,1,1),dA,
escolhendo o sinal que dá componente z>0 (para manter o contorno CCW visto de cima).

Passo 4

Pelo Teorema de Stokes,

Passo 5

Separamos a integral:
integral duplaD1,dA = área(D) =pi, integral duplaD y,dA =0 (por simetria do disco) á
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integral duplaD(1+2y),dA =pi + 2cdot0 =pi

Resposta

pi

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