Exercício 3

Determine todas as derivadas parciais (de 1^ a ordem) da função:
h(t, x)=t+3e^x t-t^2.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
h(t,x)=t+3e^x t-t^2.
Aqui usaremos a regra do quociente para funções de duas variáveis: se definirmos
u(t,x)=t+3, v(t,x)=e^x t-t^2,
então
h(t,x)=u(t,x)v(t,x),
e vale
partial hpartial t =ut,v - u,vtv^2, partial hpartial x =ux,v - u,vxv^2

Passo 2

Calcular partial h/partial t:
  1. ut = partialpartial t(t+3)=1.
  2. vt = partialpartial t(e^x t-t^2) = x,e^x t-2t.
    Aplicando a regra do quociente,
partial hpartial t =1cdotl(e^x t-t^2r) -(t+3)l(x,e^x t-2tr)l(e^x t-t^2r)^2
Ao simplificar o numerador obtemos
(1 - x(t+3)),e^x t + t^2 +6t
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partial hpartial t =(1 - x(t+3)),e^x t + t^2 +6tl(e^x t-t^2r)^2

Passo 3

Calcular partial h/partial x:
  1. ux = partialpartial x(t+3)=0.
  2. vx = partialpartial x(e^x t-t^2) = t,e^x t.
    Pela regra do quociente,
partial hpartial x =0cdot v - (t+3),t,e^x t(e^x t-t^2)^2 =-t(t+3),e^x tl(e^x t-t^2r)^2

Resposta

boxed partial hpartial t =(1 - x(t+3)),e^x t + t^2 +6tl(e^x t-t^2r)^2, partial hpartial x =-t(t+3),e^x tl(e^x t-t^2r)^2

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