Considere o campo vetorial em
dado pela expressāo a seguir,
.
O campo
é conservativo? Justifique. Caso afirmativo, encontre uma função
tal que
.
O campo
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
em
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar um potencial
tal que
. Vamos usar o teste do rotacional e depois integrar para achar
.
Passo 2
O rotacional é dado por
Calculando cada derivada temos:
,
⇒ primeira componente zero;
,
⇒ segunda componente zero;
,
⇒ terceira componente zero. Logo
.
Como o domínio é , que é simplesmente conectado, e
, concluímos que
é conservativo.
Como o domínio é
Passo 3
Para determinar o potencial, integramos
em relação a
:
Usando
igual a
obtemos
e
. Então
igual a
implica
. Logo a constante dependente de
é fixa.
Passo 4
Portanto, um potencial válido (à constante aditiva) é
Resposta
O campo é conservativo e um potencial é
(até constante aditiva).