Considere o campo vetorial em R^3 dado pela expressāo a seguir, F(x, y, z)=y z e^x z i+e^x z j+x y e^x z k.
O campo F é conservativo? Justifique. Caso afirmativo, encontre uma função f(x, y, z) tal que F=nabla f.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial F(x,y,z)=yz e^xzi+e^xzj+xy e^xzk em R^3 é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar um potencial f tal que nabla f=F. Vamos usar o teste do rotacional e depois integrar para achar f.

Passo 2

O rotacional é dado por
nabla times F=(tfracpartial Rpartial y-tfracpartial Qpartial z)i+(tfracpartial Ppartial z-tfracpartial Rpartial x)j+(tfracpartial Qpartial x-tfracpartial Ppartial y)k
Calculando cada derivada temos: partial R/partial y=x e^xz, partial Q/partial z=x e^xz ⇒ primeira componente zero; partial P/partial z=y e^xz+xyz e^xz, partial R/partial x=y e^xz+xyz e^xz ⇒ segunda componente zero; partial Q/partial x=z e^xz, partial P/partial y=z e^xz ⇒ terceira componente zero. Logo nabla times F=0.
Como o domínio é R^3, que é simplesmente conectado, e nabla times F=0, concluímos que F é conservativo.

Passo 3

Para determinar o potencial, integramos partial f/partial x=yz e^xz em relação a x:
f(x,y,z)=integral yz e^xz,dx = y e^xz + C(y,z)
Usando partial f/partial y=e^xz+partial C/partial y igual a Q=e^xz obtemos partial C/partial y=0 e C=C(z). Então partial f/partial z=xy e^xz+C'(z) igual a R=xy e^xz implica C'(z)=0. Logo a constante dependente de z é fixa.

Passo 4

Portanto, um potencial válido (à constante aditiva) é
f(x,y,z)=y e^xz

Resposta

O campo é conservativo e um potencial é f(x,y,z)=y e^xz (até constante aditiva).

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