Use o método de
de Simpson repetido para calcular o valor aproximado da integral do exercício (1) considerando
e estime o erro cometido nessa aproximação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral
usando o método de Simpson
repetido com
intervalos. Além disso, vamos estimar o erro dessa aproximação. Para isso, vamos precisar entender como funciona o método de Simpson
, calcular os pontos de avaliação da função e aplicar a fórmula para obter o valor aproximado da integral e o erro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o método de Simpson
. Ele é uma técnica de integração numérica que aproxima o valor de uma integral definida dividindo o intervalo de integração em partes menores (chamadas de subintervalos) e ajustando esses subintervalos com parábolas para estimar a área sob a curva da função.
A fórmula geral do método de Simpson
para
intervalos (onde
é par) é:
Onde:
-
é o tamanho de cada subintervalo. -
, e para .
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos no nosso problema:
- Limite inferior da integral:
- Limite superior da integral:
- Número de intervalos:
(que é par, como precisa ser) - Função a ser integrada:
Primeiro, calculamos o tamanho de cada subintervalo
:
Passo 4
Agora, vamos determinar os pontos
onde iremos avaliar a função
. Esses pontos são dados por:
Vamos listar todos os valores de
:
Passo 5
Com os valores de
definidos, vamos calcular
para cada um desses pontos:
Vamos calcular cada
:
Esses cálculos podem ser feitos usando uma calculadora científica para obter os valores numéricos de cada
.
Passo 6
Após calcular todos os valores de
, vamos aplicar a fórmula do método de Simpson
:
Vamos identificar quais termos multiplicam por 2 e quais por 4:
- Multiplicamos por 2 os
onde é par e diferente de 0 e 10. - Multiplicamos por 4 os
onde é ímpar.
Substituindo os valores:
Passo 7
Vamos calcular cada parte:
-
Valor inicial e final:
-
Soma dos termos pares (multiplicados por 2):
-
Soma dos termos ímpares (multiplicados por 4):
Depois de calcular cada uma dessas partes, somamos tudo e multiplicamos por
para obter a aproximação da integral.
Passo 8
Agora, vamos estimar o erro dessa aproximação. A fórmula do erro para o método de Simpson
repetido é:
Onde:
-
é a quarta derivada da função . -
é o valor máximo absoluto da quarta derivada no intervalo .
Vamos calcular
e suas derivadas até a quarta ordem:
Calculando as derivadas:
O valor absoluto de
será máximo quando
for mínimo no intervalo, ou seja,
. No entanto, como
torna a função real apenas se
for negativo, precisamos considerar o valor absoluto:
Portanto, o erro será:
Simplificando:
Calculando os valores numéricos:
Multiplicando tudo:
Então, o erro estimado é aproximadamente
.
Resposta
Usando o método de Simpson
repetido com
, a aproximação da integral
é aproximadamente igual a um determinado valor (deve ser calculado numericamente a partir dos passos) e o erro estimado nessa aproximação é de aproximadamente
.