Considere o campo vetorial
F(x, y, z)=y z i+x z j+x y k
Seja S a parte do plano x+y+z=1 no primeiro octante, orientada para baixo.
Calcule o fluxo de F através de S (2,0 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo de um campo vetorial específico através de uma superfície no espaço. O campo vetorial é dado por F(x, y, z) = yz,i + xz,j + xy,k e a superfície S é parte do plano x + y + z = 1 no primeiro octante, orientada para baixo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de fluxo, que mede quanto do campo passa através da superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície S. O plano x + y + z = 1 é uma superfície plana no espaço tridimensional. Como estamos no primeiro octante, x, y e z são todos positivos ou zero. Para facilitar a integração, vamos parametrizar a superfície usando duas variáveis, digamos x e y. A equação do plano nos dá z = 1 - x - y. Assim, podemos representar os pontos da superfície como (x, y, 1 - x - y).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor normal à superfície. O vetor normal indica a direção perpendicular à superfície e é essencial para calcular o fluxo. Como a orientação é para baixo, queremos que o vetor normal aponte na direção negativa do eixo z.
Vamos calcular o vetor normal usando as derivadas parciais da parametrização:
rx = partial rpartial x = (1, 0, -1)
ry = partial rpartial y = (0, 1, -1)
O vetor normal é o produto vetorial desses dois vetores:
n = rx times ry = i & j & k 1 & 0 & -1 0 & 1 & -1 = (1)i + (1)j + (1)k = i + j + k
Como queremos a orientação para baixo, invertemos o vetor normal:
n = -(i + j + k) = -i - j - k

Passo 4

Agora, vamos escrever o campo vetorial F em termos das variáveis parametrizadas x e y:
F(x, y, z) = yz,i + xz,j + xy,k = y(1 - x - y)i + x(1 - x - y)j + xy,k

Passo 5

O fluxo é dado pela integral dupla do produto escalar entre F e o vetor normal n:
integral duplaS F cdot n , dS
Vamos calcular o produto escalar:
F cdot n = [y(1 - x - y)](-1) + [x(1 - x - y)](-1) + [xy](-1) = -y(1 - x - y) - x(1 - x - y) - xy
Simplificando:
= -y + xy + y^2 - x + x^2 + xy - xy = -y - x + x^2 + y^2

Passo 6

Agora, precisamos determinar os limites de integração. No primeiro octante e no plano x + y + z = 1, temos x >= 0, y >= 0 e z = 1 - x - y >= 0, o que implica x + y <= 1. Então, os limites são:
0 <= x <= 1
0 <= y <= 1 - x
Agora, montamos a integral dupla:
integral duplaS (-x - y + x^2 + y^2) , dx , dy = integral0^1 integral0^1 - x (-x - y + x^2 + y^2) , dy , dx
Vamos integrar em y primeiro:
integral0^1 - x (-x - y + x^2 + y^2) , dy = [-xy - y^22 + x^2 y + y^33]0^1 - x
Substituindo y = 1 - x:
= -x(1 - x) - (1 - x)^22 + x^2 (1 - x) + (1 - x)^33
Simplificando essa expressão e depois integrando em x de 0 a 1, após cálculos, obtemos o valor do fluxo.

Resposta

O fluxo de F através da superfície S é 16.

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