Seja a parte do plano no primeiro octante, orientada para baixo.
Calcule o fluxo de através de pontos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo de um campo vetorial específico através de uma superfície no espaço. O campo vetorial é dado por e a superfície é parte do plano no primeiro octante, orientada para baixo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de fluxo, que mede quanto do campo passa através da superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície . O plano é uma superfície plana no espaço tridimensional. Como estamos no primeiro octante, , e são todos positivos ou zero. Para facilitar a integração, vamos parametrizar a superfície usando duas variáveis, digamos e . A equação do plano nos dá . Assim, podemos representar os pontos da superfície como .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor normal à superfície. O vetor normal indica a direção perpendicular à superfície e é essencial para calcular o fluxo. Como a orientação é para baixo, queremos que o vetor normal aponte na direção negativa do eixo .
Vamos calcular o vetor normal usando as derivadas parciais da parametrização:
O vetor normal é o produto vetorial desses dois vetores:
Como queremos a orientação para baixo, invertemos o vetor normal:
n = -(i + j + k) = -i - j - k
Passo 4
Agora, vamos escrever o campo vetorial F em termos das variáveis parametrizadas x e y:
F(x, y, z) = yz,i + xz,j + xy,k = y(1 - x - y)i + x(1 - x - y)j + xy,k
Passo 5
O fluxo é dado pela integral dupla do produto escalar entre F e o vetor normal n:
integral duplaS F cdot n , dS
Vamos calcular o produto escalar:
F cdot n = [y(1 - x - y)](-1) + [x(1 - x - y)](-1) + [xy](-1) = -y(1 - x - y) - x(1 - x - y) - xy
Agora, precisamos determinar os limites de integração. No primeiro octante e no plano x + y + z = 1, temos x >= 0, y >= 0 e z = 1 - x - y >= 0, o que implica x + y <= 1. Então, os limites são:
0 <= x <= 1
0 <= y <= 1 - x
Agora, montamos a integral dupla:
integral duplaS (-x - y + x^2 + y^2) , dx , dy = integral0^1 integral0^1 - x (-x - y + x^2 + y^2) , dy , dx
Vamos integrar em y primeiro:
integral0^1 - x (-x - y + x^2 + y^2) , dy = [-xy - y^22 + x^2 y + y^33]0^1 - x