Escreva cada uma das funções em termos de funções degrau unitário. Ache a transformada de Laplace da função dada.
f(t)=ll0, & 0 <= t<3 pi / 2 sen t, & t >= 3 pi / 2

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
e pede (a) escrevê-la em termos de função degrau unitário
e o teorema do deslocamento no tempo na transformada de Laplace.

Passo 2

Como f(t)=0 até t=tfrac3pi2 e vale sin t para t>=tfrac3pi2, podemos escrever
f(t)=sin t;u!l(t-tfrac3pi2r)

Passo 3

Para usar o teorema do deslocamento, escrevemos sin t em função de l(t-tfrac3pi2r). Note que
sin t=sinl((t-tfrac3pi2)+tfrac3pi2r) =sin(t-tfrac3pi2)costfrac3pi2+cos(t-tfrac3pi2)sintfrac3pi2
Como costfrac3pi2=0 e sintfrac3pi2=-1, vem
sin t=-cosl(t-tfrac3pi2r)
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f(t)=-cosl(t-tfrac3pi2r);u!l(t-tfrac3pi2r)

Passo 4

Usamos o teorema do deslocamento no tempo:
Lg(t-a),u(t-a)(s)=e^-a s,Lg(t)(s)
Aqui g(t)=cos t e a=tfrac3pi2, e sabemos Lcos t(s)=ss^2+1. Como há o sinal “ -)” em f(t), obtemos
F(s)=Lf(t)(s) =-,e^-3pi2s,ss^2+1

Resposta

f(t)=sin t;u!l(t-tfrac3pi2r) Longrightarrow F(s)=-,s,e^-3pi2ss^2+1

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