(3.0) Considere o campo vetorial F(x, y, z)=(x, y, z) no sólido W limitado pelas superfícies z=x^2+y^2 e z=4. Calcule sem utilizar o Teorema da Divergência as seguintes integrais:
a) integral duplaS F cdot n d S, onde S é a fronteira do sólido W.
b) integral triplaW div(F) d V

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial F(x,y,z)=(x,y,z) e o sólido W limitado pela parábola ,z=x^2+y^2 por baixo e pelo plano z=4 por cima. Precisamos calcular
a) o fluxo integral duplaSFcdotn,dS através da fronteira S=partial W sem usar o Teorema da Divergência, e
b) o integral integral triplaWdivF,dV.

Passo 2

Calcular o divergente de F:
divF =partial xpartial x+partial ypartial y+partial zpartial z =1+1+1 =3

Passo 3

Para integral triplaWdivF,dV usamos coordenadas cilíndricas (r,theta,z) em que 0<= r<=2, 0<=theta<=2pi, r^2<= z<=4. Então
integral triplaWdivF,dV =integral0^2pi!integral0^2!integralr^2^43;r,dz,dr,dtheta =3integral0^2pidthetaintegral0^2!r(4-r^2),dr
Calculando
integral0^2!r(4-r^2),dr =integral0^2(4r-r^3),dr =l[2r^2-tfracr^44r]0^2 =8-4=4,
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integral triplaWdivF,dV =3cdot(2pi)cdot4 =24pi

Passo 4

Para a integral de superfície, separamos S em duas partes:
  • S1: o lado inferior, a parábola z=x^2+y^2.
  • S2: o disco superior no plano z=4.

Passo 5

Fluxo em S1. A parábola z=g(x,y)=x^2+y^2 tem normal de saída (para fora de W)
n,dS=(gx,gy,-1),dA=(2x,2y,-1),dA
Então
Fcdotn = xcdot2x+ycdot2y+zcdot(-1) =2x^2+2y^2-(x^2+y^2) =x^2+y^2
Em coordenadas cilíndricas isso é r^2 e dA=r,dr,dtheta, com 0<= r<=2, 0<=theta<=2pi. Logo
integral duplaS1Fcdotn,dS =integral0^2pi!integral0^2r^2,(r,dr,dtheta) =integral0^2pi!dthetaintegral0^2!r^3,dr =2picdot2^44 =8pi

Passo 6

Fluxo em S2. No disco z=4, o vetor normal de saída é n=(0,0,1). Então
Fcdotn = z = 4
e
integral duplaS2Fcdotn,dS =4cdotl(área do disco r<=2r) =4cdot(4pi) =16pi á

Passo 7

Somando os dois fluxos:
integral duplaSFcdotn,dS =integral duplaS1+integral duplaS2 =8pi+16pi =24pi

Resposta

a) integral duplaSFcdotn,dS =24pi
b) integral triplaWdivF,dV =24pi

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