(3.0) Considere o campo vetorial
no sólido
limitado pelas superfícies
e
. Calcule sem utilizar o Teorema da Divergência as seguintes integrais:
a)
, onde
é a fronteira do sólido
.
b)
a)
b)
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e o sólido
limitado pela parábola
por baixo e pelo plano
por cima. Precisamos calcular
a) o fluxo através da fronteira
sem usar o Teorema da Divergência, e
b) o integral .
a) o fluxo
b) o integral
Passo 2
Calcular o divergente de
:
Passo 3
Para
usamos coordenadas cilíndricas
em que
,
,
. Então
Calculando
logo
Passo 4
Para a integral de superfície, separamos
em duas partes:
-
: o lado inferior, a parábola . -
: o disco superior no plano .
Passo 5
Fluxo em
. A parábola
tem normal de saída (para fora de
)
Então
Em coordenadas cilíndricas isso é
e
, com
,
. Logo
Passo 6
Fluxo em
. No disco
, o vetor normal de saída é
. Então
e
Passo 7
Somando os dois fluxos:
Resposta
a)
b)
b)