(2.0) Determine o intervalo de convergência da série:
sumn=1^infty n^22 cdot 4 cdot 6 cdots(2 n) x^n
x in R

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série
sumn=1^infty n^22cdot4cdot6cdots(2n),x^n,
isto é, queremos descobrir para quais valores de xinR essa soma infinita converge. Vamos usar o teste da razão e, antes, simplificar o fator 2cdot4cdot6cdots(2n).

Passo 2

Note que o produto dos n primeiros números pares é
2cdot4cdot6cdots(2n) =2^1cdot2^1cdot2^1cdots2^1;times;1cdot2cdot3cdots n =2^n,n!
Logo o termo geral da série pode ser escrito como
an = n^22^n,n!,x^n

Passo 3

Aplicamos o teste da razão, isto é, calculamos
L = limntoinfty|an+1an| = limntoinfty l((n+1)^2/(2^,n+1(n+1)!)r),|x|^,n+1 l(n^2/(2^n,n!)r),|x|^n

Passo 4

Simplificando a fração acima, temos
an+1an =(n+1)^22^n+1(n+1)!,2^n,n!n^2;|x| =(n+1)^2n^2;12;1n+1;|x| =n+12,n^2;|x|
Então
L =limntoinftyn+12,n^2;|x| =limntoinfty|x|2n =0

Passo 5

Como L=0<1 independe de x, o teste da razão garante que a série converge absolutamente para todo xinR. Portanto o raio de convergência é infinito.

Resposta

O intervalo de convergência é (-infty,infty).

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