(2.0) Use o Teorema de Stokes para calcular - T
I=ointC z d x-2 x d y+3 z d z
onde C é a curva determinada pela interseção do cilindro x^2+y^2=1 com o plano x+y+z=1, orientada no sentido horário quando vista de cima.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I=ointCz,dx-2x,dy+3z,dz
onde C é a curva de interseção do cilindro x^2+y^2=1 com o plano x+y+z=1, orientada no sentido horário quando vista de cima.
Aqui vamos usar o Teorema de Stokes, que diz
ointCFcdot dr =integral duplaS(nablatimesF)cdot dS,
escolhendo S como a região do plano dentro de C, com orientação de superfície tal que a borda siga o sentido indicado.

Passo 2

Identificamos F=(P,Q,R)=(z,,-2x,,3z). Calculamos
nablatimesF =l(tfracpartial Rpartial y-tfracpartial Qpartial z,, tfracpartial Ppartial z-tfracpartial Rpartial x,, tfracpartial Qpartial x-tfracpartial Ppartial yr) =(0-0,;1-0,;-2-0)=(0,1,-2)

Passo 3

Parametrizamos S como gráfico
z=1-x-y, (x,y)in D=x^2+y^2<=1
Tomamos o elemento de área orientado para baixo (para que a curva limite seja percorrida no sentido horário visto de cima). Um cálculo de rxtimesry dá vetor normal para cima (1,1,1), então para baixo usamos
dS=(-1,-1,-1),dA

Passo 4

No integrando aparece
(nablatimesF)cdot dS =(0,1,-2)cdot(-1,-1,-1),dA =(-1+2),dA=1;dA
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I=integral duplaD1,dA =área de D =picdot1^2 =pi á

Resposta

pi

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