Resolva os PVIs:
lt y^prime(t)+y(t)-cos (t) equiv 0, y(pi / 2)=0

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
t,y'(t)+y(t)-cos(t)=0,
com a condição y(pi/2)=0.
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem, pois pode ser escrita na forma
y'(t)+1t,y(t)=cos(t)t
Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Identificamos p(t)=1/t e q(t)=cos(t)/t. O fator integrante é
mu(t)=exp!l(integral p(t),dtr)=exp!l(integral1t,dtr)=t
Multiplicando a equação por mu(t)=t, obtemos
t,y'(t)+y(t)=cos(t)

Passo 3

O lado esquerdo é exatamente a derivada de t,y(t). Logo,
ddtl[t,y(t)r]=cos(t)

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a t, vem
t,y(t)=integral cos(t),dt=sin(t)+C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolando y(t), achamos
y(t)=sin(t)+Ct
Agora aplicamos a condição y(pi/2)=0:
0 = yl(tfracpi2r) = sin(tfracpi2)+Ctfracpi2 = 1+Ctfracpi2 implies 1+C=0 implies C=-1

Resposta

y(t)=sin(t)-1t

Exercícios relacionados