Considere o campo vetorial
\vec{F}(x, y)=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right),
definido em D=\mathbb{R}^{2}-\{(0,0)\}.
a) (1,0 ponto) Calcule \int_{\Gamma_{1}} \vec{F} \cdot d r, onde \Gamma_{1} é uma circunferência, centrada na origem, de raio a>0, orientada no sentido anti-horário.
b) (1,5 pontos) Calcule \int_{\Gamma_{2}} \vec{F} \cdot d r, onde \Gamma_{2} é uma curva fechada, C^{1} por partes, que envolva a origem, orientada no sentido anti-horário. Sugestão: Use (com cuidado!) o Teorema de Green.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial \vec F(x,y)=\bigl(-\tfrac{y}{x^2+y^2},\;\tfrac{x}{x^2+y^2}\bigr)
definido em D=\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}. Precisamos calcular
a) \displaystyle\int_{\Gamma_{1}}\vec F\cdot d\vec r, onde \Gamma_{1} é a circunferência de raio a>0 centrada na origem (anti-horário),
b) \displaystyle\int_{\Gamma_{2}}\vec F\cdot d\vec r, onde \Gamma_{2} é uma curva fechada C^1 que envolve a origem (anti-horário).
O conteúdo envolve parametrização de curvas e o Teorema de Green (rotacional).

Passo 2

Parametrizamos \Gamma_{1} por
\vec r(t)=(a\cos t,a\sin t),\quad t\in[0,2\pi].
Então
\vec r\,'(t)=(-a\sin t,a\cos t), \quad \vec F(\vec r(t)) =\Bigl(-\tfrac{a\sin t}{a^2},\tfrac{a\cos t}{a^2}\Bigr) =\Bigl(-\tfrac{\sin t}{a},\tfrac{\cos t}{a}\Bigr).
O produto escalar é
\vec F(\vec r(t))\cdot\vec r\,'(t) =\Bigl(-\tfrac{\sin t}{a}\Bigr)(-a\sin t) +\Bigl(\tfrac{\cos t}{a}\Bigr)(a\cos t) =\sin^2t+\cos^2t=1.
Logo
\int_{\Gamma_{1}}\vec F\cdot d\vec r =\int_{0}^{2\pi}1\,dt =2\pi.

Passo 3

Para \Gamma_{2}, considere a região anelar A limitada externamente por \Gamma_{2} (orientação positiva) e internamente por uma circunferência C_\varepsilon de raio \varepsilon>0 (orientação negativa), todas contidas em D. Em A, o campo é C^1 e seu rotacional vale
\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\tfrac{x}{x^2+y^2}\Bigr) -\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(-\tfrac{y}{x^2+y^2}\Bigr) =0.

Passo 4

Pelo Teorema de Green em A,
\oint_{\Gamma_{2}}\vec F\cdot d\vec r +\oint_{C_\varepsilon}\vec F\cdot d\vec r =\iint_{A}(\nabla\times\vec F)\,dA =0.
Do passo 2, para a circunferência de raio \varepsilon na orientação positiva temos \displaystyle\int_{\text{anti-horário}} =2\piá, logo na orientação negativa \displaystyle\oint_{C_\varepsilon}\vec F\cdot d\vec r=-2\pi.
Assim
\oint_{\Gamma_{2}}\vec F\cdot d\vec r =-\bigl(-2\pi\bigr) =2\pi.

Resposta

a) 2\pi
b) 2\pi

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