Considere o campo vetorial
definido em
.
a) (1,0 ponto) Calcule
, onde
é uma circunferência, centrada na origem, de raio
, orientada no sentido anti-horário.
b) (1,5 pontos) Calcule
, onde
é uma curva fechada,
por partes, que envolva a origem, orientada no sentido anti-horário. Sugestão: Use (com cuidado!) o Teorema de Green.
a) (1,0 ponto) Calcule
b) (1,5 pontos) Calcule
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
definido em . Precisamos calcular
a) , onde
é a circunferência de raio
centrada na origem (anti-horário),
b) , onde
é uma curva fechada
que envolve a origem (anti-horário).
O conteúdo envolve parametrização de curvas e o Teorema de Green (rotacional).
definido em
a)
b)
O conteúdo envolve parametrização de curvas e o Teorema de Green (rotacional).
Passo 2
Parametrizamos
por
Então
O produto escalar é
Logo
Passo 3
Para
, considere a região anelar
limitada externamente por
(orientação positiva) e internamente por uma circunferência
de raio
(orientação negativa), todas contidas em
. Em
, o campo é
e seu rotacional vale
Passo 4
Pelo Teorema de Green em
,
Do passo 2, para a circunferência de raio
na orientação positiva temos
, logo na orientação negativa
.
Assim
Assim
Resposta
a)
b)
b)