(2,5 pontos) Considere \vec{F} um campo vetorial de classe C^{1} definido em uma região W do espaço.
a) (1,0 ponto) Mostre que a integral de linha de \vec{F} independe do caminho se, e só se, a integral de linha de \vec{F} sobre caminhos fechados é nula (então, um campo é conservativo quando se verifica qualquer uma dessas afirmações!).
b) (1,5 pontos) Mostre que, sendo W o espaço tridimensional todo, com exceção possivelmente de um ponto, se \vec{F} é um campo irrotacional, então \vec{F} é conservativo.

Passo 1

O enunciado trata de um campo vetorial \vec{F}\in C^1(W) e pede duas coisas:
– (a) mostrar que “a integral de linha de \vec{F} independe do caminho” se, e só se, “a integral de linha sobre qualquer caminho fechado em W é zero”.
– (b) no caso em que W=\mathbb{R}^3\setminus\{\text{um ponto}\}, provar que se \vec{F} é irrotacional (isto é, \nabla\times\vec{F}=0) então ele é conservativo.
Conteúdos necessários: definição de integral de linha, equivalência entre independência de caminho e circuito nulo, domínio simplesmente conectado em \mathbb{R}^3, e Teorema de Stokes.

Passo 2

Prova de “ \Rightarrow”: suponha que \vec{F} tenha integral de linha independente do caminho. Então, para qualquer curva fechada C em W, podemos parametrizá-la como ida de um ponto A até A por um caminho \gamma. Como o valor da integral só depende dos extremos, temos
\oint_C\vec{F}\cdot d\vec r =\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec r =\varphi(A)-\varphi(A) =0,
onde \varphi é a função potencial (a existir). Logo, toda integral sobre caminho fechado vale zero.

Passo 3

Prova de “ \Leftarrow”: suponha que para toda curva fechada C\subset W valha
\oint_C\vec{F}\cdot d\vec r=0.
Dado quaisquer dois caminhos \gamma_1 e \gamma_2 de um ponto A a um ponto B, considere a curva fechada C=\gamma_1\cup(-\gamma_2), onde -\gamma_2 é \gamma_2 percorrida ao contrário. Então
0=\oint_C\vec{F}\cdot d\vec r =\int_{\gamma_1}\vec{F}\cdot d\vec r +\int_{-\gamma_2}\vec{F}\cdot d\vec r =\int_{\gamma_1}\vec{F}\cdot d\vec r -\int_{\gamma_2}\vec{F}\cdot d\vec r.
Isso mostra \int_{\gamma_1}\vec{F}\cdot d\vec r=\int_{\gamma_2}\vec{F}\cdot d\vec r, ou seja, a integral independe do caminho.

Passo 4

No item (b), W=\mathbb{R}^3\setminus\{\text{ponto}\} é simplesmente conectado porque em dimensão 3 a retirada de um ponto não cria “buracos” homotópicos (toda curva fechada pode ser preenchida por uma superfície contida em W).
Pelo Teorema de Stokes, dado qualquer laço fechado C em W que seja borda de uma superfície orientada S\subset W, tem-se
\oint_C\vec{F}\cdot d\vec r =\iint_S(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec n\,dS.
Como \vec{F} é irrotacional, \nabla\times\vec{F}=0, segue \oint_C\vec{F}\cdot d\vec r=0.
Pelo resultado de (a), basta que toda integral sobre curva fechada seja zero para concluir que \vec{F} é conservativo. Assim, em W=\mathbb{R}^3\setminus\{\text{ponto}\}, irrotacional implica conservativo.

Resposta

a) Demonstrou-se que a independência de caminho equivale à nulidade de todas as integrais em curvas fechadas.
b) Como \mathbb{R}^3\setminus\{\text{ponto}\} é simplesmente conectado e \nabla\times\vec{F}=0, segue que \vec{F} é conservativo.

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