(2,5 pontos) Considere
um campo vetorial de classe
definido em uma região
do espaço.
a) (1,0 ponto) Mostre que a integral de linha de
independe do caminho se, e só se, a integral de linha de
sobre caminhos fechados é nula (então, um campo é conservativo quando se verifica qualquer uma dessas afirmações!).
b) (1,5 pontos) Mostre que, sendo
o espaço tridimensional todo, com exceção possivelmente de um ponto, se
é um campo irrotacional, então
é conservativo.
a) (1,0 ponto) Mostre que a integral de linha de
b) (1,5 pontos) Mostre que, sendo
Passo 1
O enunciado trata de um campo vetorial
e pede duas coisas:
– (a) mostrar que “a integral de linha de independe do caminho” se, e só se, “a integral de linha sobre qualquer caminho fechado em
é zero”.
– (b) no caso em que , provar que se
é irrotacional (isto é,
) então ele é conservativo.
– (a) mostrar que “a integral de linha de
– (b) no caso em que
Conteúdos necessários: definição de integral de linha, equivalência entre independência de caminho e circuito nulo, domínio simplesmente conectado em
, e Teorema de Stokes.
Passo 2
Prova de “
”: suponha que
tenha integral de linha independente do caminho. Então, para qualquer curva fechada
em
, podemos parametrizá-la como ida de um ponto
até
por um caminho
. Como o valor da integral só depende dos extremos, temos
onde
é a função potencial (a existir). Logo, toda integral sobre caminho fechado vale zero.
Passo 3
Prova de “
”: suponha que para toda curva fechada
valha
Dado quaisquer dois caminhos
e
de um ponto
a um ponto
, considere a curva fechada
, onde
é
percorrida ao contrário. Então
Isso mostra
, ou seja, a integral independe do caminho.
Passo 4
No item (b),
é simplesmente conectado porque em dimensão 3 a retirada de um ponto não cria “buracos” homotópicos (toda curva fechada pode ser preenchida por uma superfície contida em
).
Pelo Teorema de Stokes, dado qualquer laço fechado em
que seja borda de uma superfície orientada
, tem-se
Pelo Teorema de Stokes, dado qualquer laço fechado
Como
é irrotacional,
, segue
.
Pelo resultado de (a), basta que toda integral sobre curva fechada seja zero para concluir que é conservativo. Assim, em
, irrotacional implica conservativo.
Pelo resultado de (a), basta que toda integral sobre curva fechada seja zero para concluir que
Resposta
a) Demonstrou-se que a independência de caminho equivale à nulidade de todas as integrais em curvas fechadas.
b) Como é simplesmente conectado e
, segue que
é conservativo.
b) Como