Considere uma superficie de rotação da forma
onde
e
é um intervalo aberto de
. Para cada
, obtenha um aberto
, e uma mudança de parâmetros
tal que o traço de
é o gráfico de uma função diferenciável.
Passo 1
O enunciado apresenta a parametrização de uma superfície de revolução
e pede que, dado um ponto
, a gente ache uma vizinhança
e uma troca de parâmetros
de modo que, escrevendo
o traço de
seja o gráfico de uma função diferenciável (isto é, de uma forma
ou equivalente). Para isso vamos usar o Teorema da Função Implícita ou, de modo equivalente, mostrar que em cada ponto pelo menos uma das projeções das coordenadas é localmente invertível.
Passo 2
Calculemos os vetores tangentes e o vetor normal (produto vetorial)
Então
Os componentes de
são
Passo 3
Como
(é perfil de revolução) e
, não podem simultaneamente
e
serem zero. Logo em
pelo menos uma das três componentes
é não nula. Isso garante que em torno de
podemos inverter localmente a projeção correspondente para obter um gráfico.
Passo 4
Dependendo de qual componente de
é não nula em
, escolhemos o par de coordenadas a inverter:
- Se
, então . A projeção
tem Jacobiano
. Pelo Teorema da Função Implícita existe uma vizinhança
de
e uma inversa diferenciável
tal que
dependem suavemente de
. Definimos então
e obtemos
Ou seja,
é o gráfico da função
.
- Se
, isto é , consideramos a projeção
Seu Jacobiano vale
. Novamente existe inversa local
, definimos
e obtemos
gráfico de
.
- Se
, isto é , análogamente projetamos em e obtemos .
Em todos os casos construímos
para que
seja gráfico de uma função diferenciável de duas variáveis.
Resposta
Em torno de
, escolha
tal que
.
- Se
, use
inverta-a localmente para obter
e então
gráfico de
.
2. Se , use
2. Se
inverta-a para
e então
- Se
, projetar em .
Em cada caso
é o gráfico de uma função diferenciável.