Resolva as equações diferenciais separáveis abaixo:
e^{y} \operatorname{sen} 2 x d x+\cos x\left(e^{2 y}-y\right) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
e^{y}\sin(2x)\,dx + \cos x\,\bigl(e^{2y}-y\bigr)\,dy = 0
e pede a solução geral. O tipo de conteúdo é equação separável, pois podemos reorganizar termos em função de x e de y isoladamente.

Passo 2

Para separar variáveis, dividimos ambos os lados por \cos x\,e^{y} (assumindo \cos x\neq0 e e^{y}\neq0):
\frac{e^{y}\sin(2x)}{\cos x\,e^{y}}\,dx \;+\; \frac{\cos x\,(e^{2y}-y)}{\cos x\,e^{y}}\,dy = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2\sin x\,dx \;+\;\frac{e^{2y}-y}{e^{y}}\,dy = 0
pois \sin(2x)=2\sin x\cos x e o fator \cos x cancela.

Passo 3

Agora integramos cada parte separadamente:
\int 2\sin x\,dx \;+\;\int \frac{e^{2y}-y}{e^{y}}\,dy = C.
  1. Para a parte em x:
\int 2\sin x\,dx = -2\cos x.
  1. Para a parte em y: escrevemos
\frac{e^{2y}-y}{e^{y}} = e^{y} \;-\; y\,e^{-y},
então
\int\!\bigl(e^{y} - y\,e^{-y}\bigr)\,dy = \int e^{y}\,dy \;-\;\int y\,e^{-y}\,dy = e^{y} \;-\;\Bigl[-y\,e^{-y}-\int(-e^{-y})\,dy\Bigr].
Fazendo integração por partes em \int y\,e^{-y}\,dy obtém-se
\int y\,e^{-y}\,dy = -\bigl(y+1\bigr)e^{-y}.
Logo
\int \frac{e^{2y}-y}{e^{y}}\,dy = e^{y} + (y+1)e^{-y}.

Passo 4

Reunindo os resultados das integrais:
-2\cos x \;+\; \Bigl[e^{y} + (y+1)e^{-y}\Bigr] = C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação é dada implicitamente por
e^{y} \;+\;(y+1)e^{-y}\;-\;2\cos x = C.

Exercícios relacionados