Encontre o comprimento exato da curva.
y=\frac{x^{3}}{6}+\frac{1}{10 x^{3}}, 1 \leqslant x \leqslant 2

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva
y=\frac{x^{3}}{6}+\frac{1}{10\,x^{3}}
no intervalo 1\le x\le2.
O conteúdo usado será a fórmula do comprimento de arco
L=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\;dx.

Passo 2

Calculemos a derivada
y=\frac{x^{3}}{6}+\frac{1}{10\,x^{3}} \quad\Longrightarrow\quad y'=\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x^{3}}{6}\Bigr)+\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{1}{10\,x^{3}}\Bigr) =\frac{x^{2}}{2}-\frac{3}{10\,x^{4}}.

Passo 3

A fórmula do comprimento de arco é
L=\int_{1}^{2}\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\;dx.
Substituindo y':
1+\bigl(y'\bigr)^{2} =1+\Bigl(\frac{x^{2}}{2}-\frac{3}{10\,x^{4}}\Bigr)^{2} =\frac{25\,x^{12}+100\,x^{8}-30\,x^{6}+9}{100\,x^{8}}.
Logo
\sqrt{1+(y')^2} =\frac{\sqrt{25\,x^{12}+100\,x^{8}-30\,x^{6}+9}}{10\,x^{4}}.

Passo 4

O comprimento torna‐se
L=\int_{1}^{2}\frac{\sqrt{25\,x^{12}+100\,x^{8}-30\,x^{6}+9}}{10\,x^{4}}\;dx.
Para essa integral, faz‐se a substituição
u=5\,x^{6}-3, \quad du=30\,x^{5}\,dx,
o que leva a expressar a raiz como \sqrt{u^{2}+(10\,x^{4})^{2}} e dx em função de du e x. Na prática, o antiderivado pode ser escrito em termos de logaritmo e da própria raiz.

Passo 5

O antiderivado pode ser mostrado (por cálculo direto ou apoio de sistema algébrico) ser
F(x)= \frac{5\,x^{6}-3}{40\,x^{3}}\;\sqrt{25\,x^{12}+100\,x^{8}-30\,x^{6}+9} \;-\;\frac{3}{20}\, \ln\!\Bigl( 5\,x^{6}-3 +\sqrt{25\,x^{12}+100\,x^{8}-30\,x^{6}+9} \Bigr).
Verifica‐se que F'(x)=\dfrac{\sqrt{25x^{12}+100x^{8}-30x^{6}+9}}{10x^{4}}.

Passo 6

Portanto
L =\bigl[F(x)\bigr]_{1}^{2} =F(2)-F(1),
onde se substitui x=2 e x=1 em F(x).

Resposta

\boxed{% L =\frac{5\cdot2^{6}-3}{40\cdot2^{3}}\sqrt{25\cdot2^{12}+100\cdot2^{8}-30\cdot2^{6}+9} -\frac{3}{20} \ln\!\Bigl(5\cdot2^{6}-3+\sqrt{25\cdot2^{12}+100\cdot2^{8}-30\cdot2^{6}+9}\Bigr)}
\quad -\Biggl( \frac{5\cdot1^{6}-3}{40\cdot1^{3}}\sqrt{25\cdot1^{12}+100\cdot1^{8}-30\cdot1^{6}+9} -\frac{3}{20} \ln\!\bigl(5\cdot1^{6}-3+\sqrt{25\cdot1^{12}+100\cdot1^{8}-30\cdot1^{6}+9}\bigr) \Biggr).

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