(3 pontos) Considere a funçāo \varphi(x)=a x+b x^{2}. Deseja-se encontrar os coeficientes a e b pp melhor aproximam os pontos (-1,0),(0,1) e (1,5), no sentido dos quadrados mínimos.
a) Escreva o sistema de equações normais associado ao problema dos quadrados mínimos para os dados fornecidos.
b) Resolva o sistema e determine os valores dos coeficientes a e b.
c) Ferreva explicitamente a função \varphi(x) que melhor se ajusta aos dados.

Passo 1

O enunciado pede para ajustar, no sentido dos mínimos quadrados, a função
\varphi(x)=a\,x + b\,x^2
aos pontos (-1,0), (0,1) e (1,5). Vamos usar o método dos mínimos quadrados, que consiste em minimizar a soma dos quadrados dos resíduos
S(a,b)=\sum_{i=1}^3\bigl(a\,x_i + b\,x_i^2 - y_i\bigr)^2
e impor as condições normais \partial S/\partial a=0 e \partial S/\partial b=0.

Passo 2

As equações normais obtêm-se derivando S(a,b) em relação a a e b e igualando a zero:
\frac{\partial S}{\partial a}=2\sum_{i=1}^3\bigl(a\,x_i + b\,x_i^2 - y_i\bigr)x_i = 0,
\frac{\partial S}{\partial b}=2\sum_{i=1}^3\bigl(a\,x_i + b\,x_i^2 - y_i\bigr)x_i^2 = 0.
Isso gera o sistema normal
\begin{cases} a\displaystyle\sum x_i^2 + b\displaystyle\sum x_i^3 = \displaystyle\sum x_i y_i,\\[1em] a\displaystyle\sum x_i^3 + b\displaystyle\sum x_i^4 = \displaystyle\sum x_i^2 y_i. \end{cases}]

Passo 3

Calculamos os somatórios para os pontos dados: \;x_1=-1,\;y_1=0;\quad x_2=0,\;y_2=1;\quad x_3=1,\;y_3=5. \sum x_i^2 = 1 + 0 + 1 = 2, \quad \sum x_i^3 = (-1)+0+1 = 0, \quad \sum x_i^4 = 1 + 0 + 1 = 2,
\sum x_i y_i = (-1)\cdot0 + 0\cdot1 + 1\cdot5 = 5, \quad \sum x_i^2 y_i = 1\cdot0 + 0\cdot1 + 1\cdot5 = 5.
Substituindo no sistema normal:
\begin{cases} a\cdot2 + b\cdot0 = 5,\\\ a\cdot0 + b\cdot2 = 5. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo as duas equações:
Da primeira:
2a = 5 \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{5}{2}.
Da segunda:
2b = 5 \quad\Longrightarrow\quad b = \frac{5}{2}.

Passo 5

Portanto, a função ajustada fica
\varphi(x) = \frac{5}{2}\,x + \frac{5}{2}\,x^2.

Resposta

a) Sistema de equações normais:
\begin{cases} 2\,a + 0\,b = 5,\\\\ 0\,a + 2\,b = 5. \end{cases}
b) Solução:
a = \frac{5}{2},\quad b = \frac{5}{2}.
c) Função ajustada:
\varphi(x) = \frac{5}{2}\,x + \frac{5}{2}\,x^2.

Exercícios relacionados