Sobre sequências de funções:
Determine se a sequência de funções
deninidas em
converge, e explique se a convergencia é uniforme.
Determine se a sequência de funções
Passo 1
O enunciado dá as funções
definidas em
por
O que se pede:
- Determinar se a sequência
converge pontualmente em e, em caso afirmativo, qual é o limite ponto a ponto. - Dizer se a convergência (quando existir) é uniforme em
.
Informações relevantes que temos do enunciado:
- Domínio:
. - Fórmula explícita:
. - É necessário analisar os casos nas bordas do intervalo e no interior.
Passo 2
Vamos estudar a convergência ponto a ponto. Devemos analisar três tipos de pontos:
,
e
.
Caso
. Substituindo,
Logo para todo
temos
, portanto
Caso
. Substituindo,
(Na prática,
para
.) Assim
Caso
. Aqui
é um número fixo no intervalo
. Para clareza, defina
então
e
Basta mostrar que
quando
. Uma maneira simples e rigorosa: escrever
Como
temos
. Então
quando
, e essa parte (que tende a
linearmente em
) domina
(que tende a
muito mais lentamente). Portanto
, o que implica
Multiplicando por
(fixo em
) obtemos
Passo 3
Conclusão da convergência pontual: para todo
temos
Ou seja, a sequência
converge ponto a ponto para a função zero em
:
Passo 4
Agora verificamos se a convergência é uniforme. Uma forma prática: estudar
. Se essa supremo tende a
quando
, então a convergência é uniforme; caso contrário, não é.
Como
no intervalo, podemos buscar o máximo de
em
. Calcule a derivada (uso derivada para localizar máximos internos). Defina
, então
. Calcule
usando regra do produto:
Coloque em evidência
:
Zeros de
(em
) ocorrem quando
, isto é,
Como
e
, e
é positiva em
, o ponto crítico
é exatamente o ponto onde
(e portanto
) atinge seu máximo no intervalo. Avaliando:
Portanto
Passo 5
Estude o limite do supremo. Use a conhecida identidade limite para
:
. Tomando
obtemos
Assim
Como o supremo das diferenças
não tende a
, a convergência não é uniforme em
.
Intuição rápida: para cada
existe um ponto
onde
quando
é grande; então mesmo que em cada ponto fixo
a função vá para zero, sempre aparece um ponto móvel
onde a função fica longe de zero, impedindo a uniformidade.