Sobre sequências de funções:
Determine se a sequência de funções f_{n}(x)=n x(1-x)^{n} deninidas em A= [0,1] converge, e explique se a convergencia é uniforme.

Passo 1

O enunciado dá as funções f_{n} definidas em A=[0,1] por
f_{n}(x)=n x(1-x)^{n}.
O que se pede:
  1. Determinar se a sequência \{f_n\} converge pontualmente em A e, em caso afirmativo, qual é o limite ponto a ponto.
  2. Dizer se a convergência (quando existir) é uniforme em A.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • Domínio: x\in[0,1].
  • Fórmula explícita: f_n(x)=n x(1-x)^n.
  • É necessário analisar os casos nas bordas do intervalo e no interior.

Passo 2

Vamos estudar a convergência ponto a ponto. Devemos analisar três tipos de pontos: x=0, x=1 e 0<x<1.
Caso x=0. Substituindo,
f_n(0)=n\cdot 0\cdot(1-0)^n=0.
Logo para todo n temos f_n(0)=0, portanto
\lim_{n\to\infty} f_n(0)=0.
Caso x=1. Substituindo,
f_n(1)=n\cdot 1\cdot(1-1)^n=n\cdot 0^n=0.
(Na prática, 0^n=0 para n\ge 1.) Assim
\lim_{n\to\infty} f_n(1)=0.
Caso 0<x<1. Aqui 1-x é um número fixo no intervalo (0,1). Para clareza, defina
a:=1-x,
então 0<a<1 e
f_n(x)=n x a^{n}=x\cdot\bigl(n a^{n}\bigr).
Basta mostrar que \lim_{n\to\infty} n a^{n}=0 quando 0<a<1. Uma maneira simples e rigorosa: escrever
\ln\bigl(n a^{n}\bigr)=\ln n + n\ln a.
Como 0<a<1 temos \ln a<0. Então n\ln a\to -\infty quando n\to\infty, e essa parte (que tende a -\infty linearmente em n) domina \ln n (que tende a +\infty muito mais lentamente). Portanto \ln\bigl(n a^{n}\bigr)\to -\infty, o que implica
n a^{n}\to 0.
Multiplicando por x (fixo em (0,1)) obtemos
f_n(x)=x\cdot n a^{n}\to 0.

Passo 3

Conclusão da convergência pontual: para todo x\in[0,1] temos
\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0.
Ou seja, a sequência \{f_n\} converge ponto a ponto para a função zero em [0,1]:
f(x)\equiv 0\quad\text{para todo }x\in[0,1].

Passo 4

Agora verificamos se a convergência é uniforme. Uma forma prática: estudar \sup_{x\in[0,1]} |f_n(x)|. Se essa supremo tende a 0 quando n\to\infty, então a convergência é uniforme; caso contrário, não é.
Como f_n(x)\ge 0 no intervalo, podemos buscar o máximo de f_n em [0,1]. Calcule a derivada (uso derivada para localizar máximos internos). Defina g_n(x):=x(1-x)^n, então f_n(x)=n g_n(x). Calcule g_n'(x) usando regra do produto:
g_n'(x)=(1-x)^n + x\cdot n(1-x)^{n-1}(-1).
Coloque em evidência (1-x)^{n-1}:
g_n'(x)=(1-x)^{n-1}\bigl[(1-x)-n x\bigr]=(1-x)^{n-1}\bigl[1-(n+1)x\bigr].
Zeros de g_n' (em (0,1)) ocorrem quando 1-(n+1)x=0, isto é,
x=\frac{1}{n+1}.
Como g_n(0)=0 e g_n(1)=0, e g_n é positiva em (0,1), o ponto crítico x=\dfrac{1}{n+1} é exatamente o ponto onde g_n (e portanto f_n) atinge seu máximo no intervalo. Avaliando:
f_n\!\left(\frac{1}{n+1}\right) = n\cdot\frac{1}{n+1}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n} = \frac{n}{n+1}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n} =\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}.
Portanto
\sup_{x\in[0,1]} f_n(x)=\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}.

Passo 5

Estude o limite do supremo. Use a conhecida identidade limite para e: \displaystyle\lim_{m\to\infty}\left(1-\frac{1}{m}\right)^{m}=e^{-1}. Tomando m=n+1 obtemos
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1} =\lim_{m\to\infty}\left(1-\frac{1}{m}\right)^{m}=e^{-1}.
Assim
\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in[0,1]} f_n(x)=e^{-1}>0.
Como o supremo das diferenças \sup_{x}|f_n(x)-0|=\sup_{x} f_n(x) não tende a 0, a convergência não é uniforme em [0,1].
Intuição rápida: para cada n existe um ponto x_n=\dfrac{1}{n+1} onde f_n(x_n)\approx e^{-1} quando n é grande; então mesmo que em cada ponto fixo x a função vá para zero, sempre aparece um ponto móvel x_n onde a função fica longe de zero, impedindo a uniformidade.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} f_n(x)=0 para todo x\in[0,1].\nA convergência não é uniforme em [0,1].

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