Explique, com suas palavras, o que significa um campo vetorial conservativo tanto do ponto de vista matemático quanto físico. Em seguida, descreva os critérios para verificar se um campo \vec{F}(x, y) no plano e um campo \vec{G}(x, y, z) no espaço são conservativos. Dê um exemplo em \mathbb{R}^{2} e outro em \mathbb{R}^{3}, apresentando as respectivas funções potenciais.

Passo 1

O que o exercício pede:
  1. Explicar, com minhas palavras, o que significa um campo vetorial conservativo do ponto de vista matemático e do ponto de vista físico.
  2. Descrever os critérios para verificar se um campo \vec{F}(x,y) no plano e um campo \vec{G}(x,y,z) no espaço são conservativos.
  3. Dar um exemplo em \mathbb{R}^{2} e outro em \mathbb{R}^{3}, apresentando as respectivas funções potenciais.
Informações relevantes fornecidas e que vou usar:
  • Os campos vetoriais são funções que atribuem a cada ponto um vetor: por exemplo \vec{F}(x,y)=\langle P(x,y),Q(x,y)\rangle no plano e \vec{G}(x,y,z)=\langle P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\rangle no espaço.
  • Precisamos explicar significado matemático e físico, os critérios (condições de teste) e depois aplicar com exemplos que incluam a função potencial correspondente.
  • Importante: condições sobre a região (domínio) onde o campo está definido — vou usar explicitamente no desenvolvimento quando necessário.

Passo 2

O que significa, matematicamente, um campo ser conservativo
  • Definição direta e limpinha: um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar \varphi (chamada função potencial) tal que
\vec{F}=\nabla\varphi.
  • Explicando cada símbolo: \varphi é uma função que depende das coordenadas (por exemplo \varphi(x,y) ou \varphi(x,y,z)). O operador \nabla (gradiente) transforma \varphi em um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de \varphi. Por exemplo, em 2D,
\nabla\varphi=\left\langle \frac{\partial\varphi}{\partial x},\,\frac{\partial\varphi}{\partial y}\right\rangle.
  • Ou seja, ser conservativo significa “ser o gradiente de alguma função escalar”.

Passo 3

O que significa, fisicamente, um campo ser conservativo
  • Interpretacão física curta: para forças conservativas, o trabalho realizado ao mover um objeto entre dois pontos depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho percorrido.
  • Consequência prática: a integral de linha sobre qualquer ciclo fechado é zero:
\oint_{\text{fechado}}\vec{F}\cdot d\vec{r}=0.
  • Exemplo físico clássico: o campo gravitacional (na aproximação de campo uniforme) é conservativo, por isso se você levantar uma massa e depois colocá-la de volta ao mesmo ponto, o trabalho total ao longo do ciclo é zero — dá para definir energia potencial.
  • Outra consequência útil: existe uma quantidade escalar (energia potencial) que se conserva quando só atuam forças conservativas.

Passo 4

Equivalências e como usá-las na prova (intuição e demonstração curta)
  • Equivalências que aparecem sempre:
    1. \vec{F} é conservativo (existe \varphi com \vec{F}=\nabla\varphi).
    2. A integral de linha entre dois pontos é independente do caminho.
    3. A integral de linha ao longo de qualquer loop fechado é zero.
    4. O rotacional (curl) é nulo: \nabla\times\vec{F}=\vec{0} (em 3D; em 2D isso se reduz a uma condição simples).
  • Por que isso é útil: na prova você pode usar qualquer uma dessas formas para mostrar que um campo é (ou não é) conservativo. Normalmente você chega no teste do rotacional (ou do “∂P/∂y = ∂Q/∂x” em 2D) porque é rápido.

Passo 5

Critério em \mathbb{R}^{2} (plano) — teste prático e domínio
  • Escreva o campo como \vec{F}(x,y)=\langle P(x,y),\,Q(x,y)\rangle, com P e Q tendo derivadas parciais contínuas num domínio aberto D.
  • Condição de teste (fácil de aplicar na prova):
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\quad\text{em }D.
  • Observação crucial sobre o domínio: essa igualdade é necessária em qualquer domínio onde \vec{F} for gradiente, e é suficiente se o domínio D for aberto e simplesmente conectado (ou seja, sem “buracos”). Simplesmente conectado = qualquer laço pode ser continuamente contraído a um ponto (ex.: \mathbb{R}^2 é simplesmente conectado; \mathbb{R}^2\setminus\{0\} não é).
  • Exemplo do porquê do domínio importar: o campo \left\langle -\dfrac{y}{x^2+y^2},\;\dfrac{x}{x^2+y^2}\right\rangle satisfaz \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x em \mathbb{R}^2\setminus\{0\} mas não é conservativo nessa região porque existe um “buraco” no ponto 0 (o campo tem circulação em torno da origem).

Passo 6

Critério em \mathbb{R}^{3} (espaço) — rotacional e domínio
  • Para \vec{G}(x,y,z)=\langle P,Q,R\rangle com derivadas parciais contínuas em um domínio aberto D\subset\mathbb{R}^3, o teste prático é:
\nabla\times\vec{G}=\vec{0},
ou seja, as três componentes do rotacional devem ser zero:
\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)=\vec{0}.
  • Novamente: essa condição é necessária e, em um domínio aberto e simplesmente conectado, também é suficiente.
  • Intuição física: \nabla\times\vec{G}=\vec{0} significa que localmente não existe “giro” do campo — não há vórtices pequenos que impeçam a existência de um potencial global.

Passo 7

Como encontrar a função potencial (método passo a passo que funciona na prova)
  • Em 2D, para \vec{F}=\langle P,Q\rangle:
    1. Integre P em relação a x: \varphi(x,y)=\int P(x,y)\,dx + h(y). Aqui h(y) é “constante” de integração que pode depender de y.
    2. Diferencie essa \varphi obtida em relação a y e iguale a Q(x,y) para achar h'(y).
    3. Integre h'(y) para achar h(y) e obtenha \varphi completa.
  • Em 3D, para \vec{G}=\langle P,Q,R\rangle:
    1. Integre P em relação a x: \varphi(x,y,z)=\int P\,dx + C(y,z).
    2. Diferencie essa \varphi em relação a y e iguale a Q para encontrar \partial C/\partial y.
    3. Integre \partial C/\partial y em relação a y para obter C(y,z)=\tilde{C}(z)+ possível termo.
    4. Use a igualdade com a componente R (derivada em z) para determinar \tilde{C}(z).
  • Lembre-se de adicionar constante de integração final (que não altera o gradiente).

Passo 8

Exemplo em \mathbb{R}^{2} com desenvolvimento passo a passo
  • Escolho o campo
\vec{F}(x,y)=\left\langle 2xy,\; x^{2}\right\rangle.
  • Verificação da condição em 2D:
    • Calcule \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x.
    • Calcule \dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x.
    • Como \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x} em todo \mathbb{R}^{2} e \mathbb{R}^{2} é simplesmente conectado, \vec{F} é conservativo.
  • Encontrando a função potencial \varphi(x,y):
    1. Integro P em relação a x:
    \varphi(x,y)=\int 2xy\,dx = x^{2}y + h(y),onde h(y) é uma função a determinar.
    2. Derivo \varphi em relação a y: \frac{\partial\varphi}{\partial y}=x^{2}+h'(y).Isso deve ser igual a Q(x,y)=x^{2}. Logo h'(y)=0, o que implica h(y)=C (constante).
    3. Portanto uma função potencial é \varphi(x,y)=x^{2}y + C.Podemos escolher C=0 para simplicidade, então \varphi(x,y)=x^{2}y. Verificação final: \nabla\varphi=\langle 2xy, x^{2}\rangle=\vec{F}.

Passo 9

Exemplo em \mathbb{R}^{3} com desenvolvimento passo a passo
  • Escolho o campo
\vec{G}(x,y,z)=\langle 2xy,\; x^{2},\; 3z^{2}\rangle.
  • Verificação do rotacional:
    • Calcule as componentes do rotacional: \nabla\times\vec{G}=\left(\frac{\partial}{\partial y}(3z^{2})-\frac{\partial}{\partial z}(x^{2}),\; \frac{\partial}{\partial z}(2xy)-\frac{\partial}{\partial x}(3z^{2}),\; \frac{\partial}{\partial x}(x^{2})-\frac{\partial}{\partial y}(2xy)\right).
    • Avaliando as derivadas: \nabla\times\vec{G}=(0-0,\;0-0,\;2x-2x)=(0,0,0).
    • Assim \nabla\times\vec{G}=\vec{0} em todo \mathbb{R}^{3}, e \mathbb{R}^{3} é simplesmente conectado, logo \vec{G} é conservativo.
  • Encontrando a função potencial \Phi(x,y,z):
    1. Integro P=2xy em relação a x:
    \Phi(x,y,z)=\int 2xy\,dx = x^{2}y + C(y,z),onde C é função de y,z.
    2. Derivo em relação a y: \frac{\partial\Phi}{\partial y}=x^{2} + \frac{\partial C}{\partial y}.Isso deve igualar Q(x,y,z)=x^{2}, logo \partial C/\partial y=0. Portanto C=C(z).
    3. Agora derivo \Phi em relação a z: \frac{\partial\Phi}{\partial z}=C'(z),isso deve ser igual a R(x,y,z)=3z^{2}. Logo C'(z)=3z^{2}, integrando: C(z)=z^{3}+C_{0}.
    1. Assim uma função potencial é
    \Phi(x,y,z)=x^{2}y + z^{3} + C_{0}.Podemos escolher C_{0}=0 e ficar com \Phi(x,y,z)=x^{2}y+z^{3}. Verificação final: \nabla\Phi=\langle 2xy, x^{2}, 3z^{2}\rangle=\vec{G}.

Passo 10

Resumo prático e dicas para prova (amigo falando)
  • Sempre verifique domínio: se o teste \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x (2D) ou \nabla\times\vec{G}=\vec{0} (3D) der certo, confirme que o domínio é simplesmente conectado antes de concluir que o campo é conservativo.
  • Se o campo for conservativo, para calcular integrais de linha basta achar a função potencial e fazer \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\varphi(\text{fim})-\varphi(\text{início})í — isso economiza muito tempo na prova.
  • Se quiser provar que algo não é conservativo, mostre uma curva fechada com integral não nula (ou mostre que o rotacional não é zero).

Resposta

Matematicamente: \vec{F} é conservativo se existe \varphi tal que \vec{F}=\nabla\varphi.\n
Fisicamente: força/conjunto é conservativo quando o trabalho entre dois pontos depende só dos pontos inicial e final (integral de linha é independente do caminho) e a integral em qualquer laço fechado é zero.\n
Critério em \mathbb{R}^2: para \vec{F}=\langle P,Q\rangle com derivadas parciais contínuas num domínio aberto e simplesmente conectado, \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x} é condição necessária e suficiente.\n
Critério em \mathbb{R}^3: para \vec{G}=\langle P,Q,R\rangle com derivadas parciais contínuas num domínio aberto e simplesmente conectado, \nabla\times\vec{G}=\vec{0} (ou seja, todas as componentes do rotacional são zero) é condição necessária e suficiente.\n
Exemplo em \mathbb{R}^2: \vec{F}(x,y)=\langle 2xy,\;x^{2}\rangle é conservativo em \mathbb{R}^{2} e a função potencial é \varphi(x,y)=x^{2}y.\n
Exemplo em \mathbb{R}^3: \vec{G}(x,y,z)=\langle 2xy,\;x^{2},\;3z^{2}\rangle é conservativo em \mathbb{R}^{3} e a função potencial é \Phi(x,y,z)=x^{2}y+z^{3}.

Exercícios relacionados