Explique, com suas palavras, o que significa um campo vetorial conservativo tanto do ponto de vista matemático quanto físico. Em seguida, descreva os critérios para verificar se um campo
no plano e um campo
no espaço são conservativos. Dê um exemplo em
e outro em
, apresentando as respectivas funções potenciais.
Passo 1
O que o exercício pede:
- Explicar, com minhas palavras, o que significa um campo vetorial conservativo do ponto de vista matemático e do ponto de vista físico.
- Descrever os critérios para verificar se um campo
no plano e um campo no espaço são conservativos. - Dar um exemplo em
e outro em , apresentando as respectivas funções potenciais.
Informações relevantes fornecidas e que vou usar:
- Os campos vetoriais são funções que atribuem a cada ponto um vetor: por exemplo
no plano e no espaço. - Precisamos explicar significado matemático e físico, os critérios (condições de teste) e depois aplicar com exemplos que incluam a função potencial correspondente.
- Importante: condições sobre a região (domínio) onde o campo está definido — vou usar explicitamente no desenvolvimento quando necessário.
Passo 2
O que significa, matematicamente, um campo ser conservativo
- Definição direta e limpinha: um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar
(chamada função potencial) tal que
- Explicando cada símbolo:
é uma função que depende das coordenadas (por exemplo ou ). O operador (gradiente) transforma em um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de . Por exemplo, em 2D,
- Ou seja, ser conservativo significa “ser o gradiente de alguma função escalar”.
Passo 3
O que significa, fisicamente, um campo ser conservativo
- Interpretacão física curta: para forças conservativas, o trabalho realizado ao mover um objeto entre dois pontos depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho percorrido.
- Consequência prática: a integral de linha sobre qualquer ciclo fechado é zero:
- Exemplo físico clássico: o campo gravitacional (na aproximação de campo uniforme) é conservativo, por isso se você levantar uma massa e depois colocá-la de volta ao mesmo ponto, o trabalho total ao longo do ciclo é zero — dá para definir energia potencial.
- Outra consequência útil: existe uma quantidade escalar (energia potencial) que se conserva quando só atuam forças conservativas.
Passo 4
Equivalências e como usá-las na prova (intuição e demonstração curta)
- Equivalências que aparecem sempre:
-
é conservativo (existe com ). - A integral de linha entre dois pontos é independente do caminho.
- A integral de linha ao longo de qualquer loop fechado é zero.
- O rotacional (curl) é nulo:
(em 3D; em 2D isso se reduz a uma condição simples).
-
- Por que isso é útil: na prova você pode usar qualquer uma dessas formas para mostrar que um campo é (ou não é) conservativo. Normalmente você chega no teste do rotacional (ou do “∂P/∂y = ∂Q/∂x” em 2D) porque é rápido.
Passo 5
Critério em
(plano) — teste prático e domínio
- Escreva o campo como
, com e tendo derivadas parciais contínuas num domínio aberto . - Condição de teste (fácil de aplicar na prova):
- Observação crucial sobre o domínio: essa igualdade é necessária em qualquer domínio onde
for gradiente, e é suficiente se o domínio for aberto e simplesmente conectado (ou seja, sem “buracos”). Simplesmente conectado = qualquer laço pode ser continuamente contraído a um ponto (ex.: é simplesmente conectado; não é). - Exemplo do porquê do domínio importar: o campo
satisfaz em mas não é conservativo nessa região porque existe um “buraco” no ponto (o campo tem circulação em torno da origem).
Passo 6
Critério em
(espaço) — rotacional e domínio
- Para
com derivadas parciais contínuas em um domínio aberto , o teste prático é:
ou seja, as três componentes do rotacional devem ser zero:
- Novamente: essa condição é necessária e, em um domínio aberto e simplesmente conectado, também é suficiente.
- Intuição física:
significa que localmente não existe “giro” do campo — não há vórtices pequenos que impeçam a existência de um potencial global.
Passo 7
Como encontrar a função potencial (método passo a passo que funciona na prova)
- Em 2D, para
: - Integre
em relação a : . Aqui é “constante” de integração que pode depender de . - Diferencie essa
obtida em relação a e iguale a para achar . - Integre
para achar e obtenha completa.
- Integre
- Em 3D, para
: - Integre
em relação a : . - Diferencie essa
em relação a e iguale a para encontrar . - Integre
em relação a para obter possível termo. - Use a igualdade com a componente
(derivada em ) para determinar .
- Integre
- Lembre-se de adicionar constante de integração final (que não altera o gradiente).
Passo 8
Exemplo em
com desenvolvimento passo a passo
- Escolho o campo
- Verificação da condição em 2D:
- Calcule
- Calcule
- Como
em todo e é simplesmente conectado, é conservativo.
- Calcule
- Encontrando a função potencial
: - Integro
em relação a :
onde é uma função a determinar.
2. Derivoem relação a : Isso deve ser igual a . Logo , o que implica (constante).
3. Portanto uma função potencial éPodemos escolher para simplicidade, então . Verificação final: . - Integro
Passo 9
Exemplo em
com desenvolvimento passo a passo
- Escolho o campo
- Verificação do rotacional:
- Calcule as componentes do rotacional:
- Avaliando as derivadas:
- Assim
em todo , e é simplesmente conectado, logo é conservativo.
- Calcule as componentes do rotacional:
- Encontrando a função potencial
: - Integro
em relação a :
onde é função de .
2. Derivo em relação a: Isso deve igualar , logo . Portanto .
3. Agora derivoem relação a : isso deve ser igual a . Logo , integrando: - Assim uma função potencial é
Podemos escolher e ficar com . Verificação final: . - Integro
Passo 10
Resumo prático e dicas para prova (amigo falando)
- Sempre verifique domínio: se o teste
(2D) ou (3D) der certo, confirme que o domínio é simplesmente conectado antes de concluir que o campo é conservativo. - Se o campo for conservativo, para calcular integrais de linha basta achar a função potencial e fazer
— isso economiza muito tempo na prova. - Se quiser provar que algo não é conservativo, mostre uma curva fechada com integral não nula (ou mostre que o rotacional não é zero).
Resposta
Matematicamente:
é conservativo se existe
tal que
.\n
Fisicamente: força/conjunto é conservativo quando o trabalho entre dois pontos depende só dos pontos inicial e final (integral de linha é independente do caminho) e a integral em qualquer laço fechado é zero.\n
Critério em : para
com derivadas parciais contínuas num domínio aberto e simplesmente conectado,
é condição necessária e suficiente.\n
Critério em : para
com derivadas parciais contínuas num domínio aberto e simplesmente conectado,
(ou seja, todas as componentes do rotacional são zero) é condição necessária e suficiente.\n
Exemplo em :
é conservativo em
e a função potencial é
.\n
Exemplo em :
é conservativo em
e a função potencial é
.
Fisicamente: força/conjunto é conservativo quando o trabalho entre dois pontos depende só dos pontos inicial e final (integral de linha é independente do caminho) e a integral em qualquer laço fechado é zero.\n
Critério em
Critério em
Exemplo em
Exemplo em