Considere o campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=\left(y^{2}, x z, x y\right). Seja C a curva de interseção entre o cilindro x^{2}+y^{2}=4 e o plano z=3. Considere como superfície S a região do plano z=3 limitada por C. Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}
onde o campo vetorial é
\vec{F}(x,y,z)=\left(y^{2},\,x z,\,x y\right)
e C é a curva de interseção entre o cilindro \;x^{2}+y^{2}=4\; e o plano \;z=3\;. A superfície S é a região do plano \;z=3\; limitada por C (ou seja, o disco de raio 2 em z=3).\n
Informações relevantes que temos:
  • A curva C é um círculo fechado de raio 2 no plano z=3, isto é \{(x,y,3)\mid x^{2}+y^{2}=4\}.
  • A superfície S é o disco \{(x,y,3)\mid x^{2}+y^{2}\le 4\}.
  • Queremos \displaystyle\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}. Não foi especificada a orientação de C; vou adotar a orientação positiva induzida pela normal apontando para cima (vetor normal para z positivo), que é o costume em exercícios assim.

Passo 2

Escolha do método: como o enunciado fornece explicitamente uma superfície plana S que tem C como bordo, a ferramenta natural é o Teorema de Stokes, que transforma a integral de linha fechada numa integral de superfície do rotacional do campo. Isso tende a simplificar porque S é um disco simples e o cálculo do rotacional é direto. Vou usar Stokes por ser mais curto e mais didático aqui do que parametrizar diretamente o círculo.

Passo 3

Enunciando o Teorema de Stokes (forma que usaremos):
\int_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS.
Explicando os termos:
  • \nabla\times\vec{F} é o rotacional (curl) de \vec{F}; ele mede a tendência de circulação local do campo.
  • \vec{n} é o vetor normal unitário à superfície S, escolhido de forma que a orientação de \partial S (a curva C) seja consistente com a regra da mão direita.
  • dS é o elemento de área na superfície. Como S é plano horizontal ( z=3), dS é igual ao elemento de área do plano xy, ou seja dA.

Passo 4

Calcular o rotacional \nabla\times\vec{F}. Usamos a definição por determinante:
\nabla\times\vec{F}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[4pt] \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z \\[4pt] y^{2} & x z & x y \end{vmatrix}.
Compute cada componente passo a passo:
  • Componente x: \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(x y)-\frac{\partial}{\partial z}(x z)=x-x=0.
  • Componente y: \displaystyle \frac{\partial}{\partial z}(y^{2})-\frac{\partial}{\partial x}(x y)=0-y=-y.
  • Componente z: \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(x z)-\frac{\partial}{\partial y}(y^{2})=z-2y.
Portanto
\nabla\times\vec{F}=\bigl(0,\,-y,\,z-2y\bigr).]

Passo 5

Escolher o vetor normal \vec{n} à superfície S. O plano é z=3, horizontal, então uma normal unitária para cima é
\vec{n}=(0,0,1).
Explicando a orientação: com \vec{n}=(0,0,1) a orientação induzida em C=\partial S é contrária ao sentido horário quando visto por cima? Na verdade, com normal apontando para cima, a orientação de C é contrária? Relaxa — o padrão é: normal para cima corresponde à orientação positiva do contorno sendo contrarrelógio quando visto de cima. Vou usar essa convenção padrão; se o problema exigir outra orientação, o sinal mudaria, mas a escolha é a usual.
Agora calculamos o produto escalar
(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}=(0,\,-y,\,z-2y)\cdot(0,0,1)=z-2y.
Sobre a superfície S temos z=3, então o integrando fica
(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\big|_{S}=3-2y.

Passo 6

Aplicando Stokes:
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(3-2y)\,dS.
Como S é o disco x^{2}+y^{2}\le 4 no plano z=3, temos dS=dA e a integral fica
\iint_{x^{2}+y^{2}\le 4}(3-2y)\,dA.
Separemos em duas integrais:
\iint_{D}3\,dA \;-\;2\iint_{D}y\,dA,
onde D é o disco de raio 2 em xy-plano.
Observação sobre a segunda integral: a função y é ímpar em relação ao eixo x e o domínio D é simétrico em relação ao eixo x. Portanto
\iint_{D}y\,dA=0.
(Se preferir ver isso em coordenadas polares: y=r\sin\theta e a integral angular de \sin\theta sobre 0 a 2\pi é zero.)
Assim sobra apenas
\iint_{D}3\,dA = 3\cdot \text{Área}(D).Á

Passo 7

Calcular a área do disco de raio 2:
\text{Área}(D)=\pi\cdot 2^{2}=4\pi.Á
Então
3\cdot \text{Área}(D)=3\cdot 4\pi=12\pi.Á

Passo 8

Conclusão: pela aplicação do Teorema de Stokes e pelas simetrias do domínio, obtemos
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=12\pi.

Resposta

\;12\pi\;

Exercícios relacionados