Considere o campo vetorial F(x, y)=(3 x^2+y cos (x, y), (2 y+x cos (x y))
a) Verifique se F é um campo vetorial conservativo.

Passo 1

Beleza, então a gente tem um campo vetorial F(x, y) = (3x^2 + y cos(x y), 2y + x cos(x y)) e precisa verificar se esse campo é conservativo. Isso faz parte da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente sobre campos conservativos. Para resolver isso, vamos precisar verificar se as derivadas parciais cruzadas das componentes do campo são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial. Matemáticamente, isso implica que as derivadas parciais misturadas do campo devem ser iguais. Ou seja, se F = (P, Q), então devemos ter:
partial Ppartial y = partial Qpartial x
Se essa igualdade for verdadeira em toda a região considerada, então o campo é conservativo.

Passo 3

Agora, vamos identificar as componentes P e Q do nosso campo F:
P(x, y) = 3x^2 + y cos(x y)
Q(x, y) = 2y + x cos(x y)
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Primeiro, a derivada parcial de P em relação a y:
partial Ppartial y = partialpartial y (3x^2 + y cos(x y)) = 0 + cos(x y) + y cdot (-x sin(x y)) = cos(x y) - x y sin(x y)
Agora, a derivada parcial de Q em relação a x:
partial Qpartial x = partialpartial x (2y + x cos(x y)) = 0 + cos(x y) + x cdot (-y sin(x y)) = cos(x y) - x y sin(x y)

Resposta

Como partial Ppartial y = partial Qpartial x = cos(x y) - x y sin(x y), isso mostra que as derivadas parciais cruzadas são iguais. Portanto, o campo vetorial F(x, y) é conservativo.

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