Considere o campo vetorial
,
a) Verifique se
é um campo vetorial conservativo.
a) Verifique se
Passo 1
Beleza, então a gente tem um campo vetorial
e precisa verificar se esse campo é conservativo. Isso faz parte da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente sobre campos conservativos. Para resolver isso, vamos precisar verificar se as derivadas parciais cruzadas das componentes do campo são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial. Matemáticamente, isso implica que as derivadas parciais misturadas do campo devem ser iguais. Ou seja, se
, então devemos ter:
Se essa igualdade for verdadeira em toda a região considerada, então o campo é conservativo.
Passo 3
Agora, vamos identificar as componentes
e
do nosso campo
:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Resposta
Como
, isso mostra que as derivadas parciais cruzadas são iguais. Portanto, o campo vetorial
é conservativo.