Utilize a definição formal para mostrar que:
lim x 0 1 / x^2=infty.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
limxto 01x^2 = infty
ou seja, que a função f(x)=1/x^2 cresce sem limite quando x se aproxima de zero. Para isso usaremos a definição formal de limite infinito no ponto.

Passo 2

A definição formal de
limxto af(x)=infty
é:
para todo M>0;existsde<a>0;tal que, se 0<|x-a|<de<a,;então f(x)>M ã
No nosso caso, a=0 e f(x)=1/x^2.

Passo 3

Dado um M>0, precisamos escolher um de<a>0 que garanta
0<|x|<de<a Longrightarrow 1x^2>M
Uma escolha natural é
de<a = 1raizM

Passo 4

Agora verificamos a implicação: se 0<|x|<de<a, então
|x|<1raizM ;Longrightarrow; x^2<1M ;Longrightarrow; 1x^2>M
Isso mostra exatamente que, sempre que 0<|x|<de<a, temos 1/x^2>M.

Passo 5

Como para todo M>0 encontramos um de<a=1/raizM que satisfaz a definição formal, concluímos que
limxto 01x^2=infty

Resposta

limxto 01x^2=infty.

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