Use o Teorema do Sanduíche para calcular lim x 0 x^2 sin 1x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0 x^2sin1x
usando o Teorema do Sanduíche. Aqui o conteúdo é limite de função e vamos precisar da propriedade de que o seno está sempre entre -1 e 1.

Passo 2

Sabemos que, para todo real t,
-1 <= sin(t) <= 1.
Tomando t = tfrac1x (para xneq0), fica
-1 <= sin!l(tfrac1xr)<= 1.
Multiplicando essa desigualdade por x^2>=0, obtemos
-x^2 ;<=; x^2sin1x ;<=; x^2

Passo 3

Calculamos os limites das funções laterais quando xto0:
limxto0(-x^2) = 0,
limxto0x^2 = 0

Passo 4

Pelo Teorema do Sanduíche, como
-x^2 <= x^2sin1x<= x^2
e ambas as extremas tendem a 0, segue que
limxto0x^2sin1x = 0

Resposta

O valor do limite é 0.

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